IEEE754 浮点数的表示方法

2024-05-12 17:49:38

原文地址：https://blog.csdn.net/K346K346/article/details/50487127

1.浮点数的存储格式

浮点数（Floating-point Number）是对实数的一种近似表示，由一个有效数字（即尾数）加上幂数来表示，通常是乘以某个基数的整数次幂得到。以这种表示法表示的数值，称为浮点数。表示方法类似于基数为10的科学计数法。利用浮点进行运算，称为浮点计算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。

计算机对浮点数的表示规范遵循电气和电子工程师协会（IEEE）推出的 IEEE754 标准，浮点数在 C/C++ 中对应 float 和 double 类型，我们有必要知道浮点数在计算机中实际存储的内容。

IEEE754 标准中规定 float 单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号，用 8 位表示指数，用 23 位表示尾数，即小数部分。对于 double 双精度浮点数，用 1 位表示符号，用 11 位表示指数，52 位表示尾数，其中指数域称为阶码。IEEE754 浮点数的格式如下图所示。

注意，IEE754 规定浮点数阶码 E 采用"指数ｅ的移码-1"来表示，请记住这一点。为什么指数移码要减去 1，这是 IEEE754 对阶码的特殊要求，以满足特殊情况，比如对正无穷的表示。

2.移码

移码（又叫增码）是对真值补码的符号位取反，一般用作浮点数的阶码，引入的目的是便于浮点数运算时的对阶操作。

对于定点整数，计算机一般采用补码的来存储。正整数的符号位为 0，反码和补码等同于原码。负整数符号位为1，原码、反码和补码的表示都不相同，由原码变成反码和补码有如下规则：
（1）原码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得反码；
（2）反码符号位为1不变，反码数值位最低位加1得补码。

比如，以一个字节 8bits 来表示 -3，那么[ − 3 ] 原 = 10000011 [-3]_原=10000011[−3]原=10000011，[ − 3 ] 反 = 11111100 [-3]_反=11111100[−3]反=11111100，[ − 3 ] 补 = 11111101 [-3]_补=11111101[−3]补=11111101，那么 -3 的移码就是[ − 3 ] 移 = 01111101 [-3]_移=01111101[−3]移=01111101。

如何将移码转换为真值 -3 呢？先将移码转换为补码，再求值。

3.浮点数的规格化

若不对浮点数的表示作出明确的规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如( 1.75 ) 10 (1.75)_{10}(1.75)10可以表示成1.11 × 2 0 1.11\times 2^01.11×20，0.111 × 2 1 0.111\times2^10.111×21，0.0111 × 2 2 0.0111\times2^20.0111×22等多种形式。当尾数不为0时，尾数域的最高有效位为1，这称为浮点数的规格化。否则，以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法，使其成为规格化数的形式。

3.1 单精度浮点数真值

IEEE754 标准中，一个规格化的 32 位浮点数 x 的真值表示为：
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(−1)S×(1.M)×2e
e = E − 127 e=E-127e=E−127
其中尾数域值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位总是1，故这一位不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。

在计算指数 e 时，对阶码E的计算采用原码的计算方式，因此 32 位浮点数的 8bits 的阶码 E 的取值范围是 0 到 255。其中当E为全 0 或者全 1 时，是 IEEE754 规定的特殊情况，下文会另外说明。

3.2 双精度浮点数真值

64 位的浮点数中符号为 1 位，阶码域为 11 位，尾数域为 52 位，指数偏移值是 1023。因此规格化的 64 位浮点数 x 的真值是：
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(−1)S×(1.M)×2e
e = E − 1023 e=E-1023e=E−1023

4.浮点数的具体表示

4.1 十进制到机器码

（1）0.5
0.5 = ( 0.1 ) 2 0.5=(0.1)_20.5=(0.1)2，符号位S为0，指数为e = − 1 e=-1e=−1，规格化后尾数为1.0。

单精度浮点数尾数域共23位，右侧以0补全，尾数域：
M = [ 000 0000 0000 0000 0000 0000 ] 2 M=[000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]2

阶码E:
E = [ − 1 ] 移 − 1 = [ 0111 1111 ] 2 − 1 = [ 0111 1110 ] 2 E=[-1]_移-1=[0111\ 1111]_2-1=[0111\ 1110]_2E=[−1]移−1=[0111 1111]2−1=[0111 1110]2

对照单精度浮点数的存储格式，将符号位S，阶码E和尾数域M存放到指定位置，得0.5的机器码：
0.5 = [ 0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 ] 2 0.5=[0011\ 1111\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_20.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]2。

十六进制表示为0.5=0x3f000000。

（2）1.5
1.5 = [ 1.1 ] 2 1.5=[1.1]_21.5=[1.1]2，符号位为0，指数e = 0 e=0e=0，规格化后尾数为1.1。

尾数域Ｍ右侧以0补全，得尾数域:
M = [ 100 0000 0000 0000 0000 0000 ] 2 M=[100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]2

阶码E：
E = [ ０ ] 移 − 1 = [ 10000000 ] 2 − 1 = [ 01111111 ] 2 E=[０]_移-1=[1000 0000]_2-1=[0111 1111]_2E=[０]移−1=[10000000]2−1=[01111111]2

得1.5的机器码：
1.5 = [ 0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000 ] 2 1.5=[0011\ 1111\ 1100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_21.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]2

十六进制表示为1.5=0x3fc00000。

（3）-12.5
− 12.5 = [ − 1100.1 ] 2 -12.5=[-1100.1]_2−12.5=[−1100.1]2，符号位S为1，指数e为3，规格化后尾数为1.1001，

尾数域Ｍ右侧以0补全，得尾数域:
M = [ 100 1000 0000 0000 0000 0000 ] 2 M=[100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[100 1000 0000 0000 0000 0000]2

阶码E：
E = [ 3 ] 移 − 1 = [ 1000 0011 ] 2 − 1 = [ 1000 0010 ] 2 E=[3]_移-1=[1000\ 0011]_2-1=[1000\ 0010]_2E=[3]移−1=[1000 0011]2−1=[1000 0010]2

即-12.5的机器码：
− 12.5 = [ 1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000 ] 2 -12.5=[1100\ 0001\ 0100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2−12.5=[1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000]2

十六进制表示为-12.5=0xc1480000。

用如下程序验证上面的推算，代码编译运行平台Win32+VC++ 2012：

#include <iostream>
using namespace std;int main() {float a=0.5;float b=1.5;float c=-12.5;unsigned int* pa=NULL;pa=(unsigned int*)&a;unsigned int* pb=NULL;pb=(unsigned int*)&b;unsigned int* pc=NULL;pc=(unsigned int*)&c;cout<<hex<<"a=0x"<<*pa<<endl;cout<<hex<<"b=0x"<<*pb<<endl;cout<<hex<<"c=0x"<<*pc<<endl;return 0;
}

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输出结果：

a=0x3f000000
b=0x3fc00000
c=0xc1480000

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验证正确。

4.2 机器码到十进制

（1）若浮点数 x 的 IEEE754 标准存储格式为 0x41360000，那么其浮点数的十进制数值的推演过程如下：

0 x 41360000 = [ 0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000 ] 0x41360000=[0\ 10000010\ 011\ 0110\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]0x41360000=[0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000]

根据该浮点数的机器码得到符号位 S=0，指数 e=阶码-127=1000 0010-127=130-127=3。

注意，根据阶码求指数时，可以像上面直接通过 "阶码-127"求得指数e，也可以将阶码 + 1 = 移码阶码+1=移码阶码+1=移码，再通过移码求其真值便是指数 e。比如上面阶码 10000010 + 1 = 1000001 1 [ 移码 ] = > 0000001 1 [ 补 ] = 3 ( 指数 e ) 10000010+1=10000011_{[移码]}=>00000011_{[补]}=3(指数e)10000010+1=10000011[移码]=>00000011[补]=3(指数e)。

包括尾数域最左边的隐藏位1，那么尾数 1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011。

于是有：
x = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = + ( 1.011011 ) × 2 3 = + 1011.011 = ( 11.375 ) 10 x=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.011011)\times2^3=+1011.011=(11.375)_{10}x=(−1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10

通过代码同样可以验证上面的推算：

#include <iostream>
using namespace std;int main() {unsigned int hex=0x41360000;float* fp=(float*)&hex;cout<<"x="<<*fp<<endl;return 0;
}

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输出结果：

x=11.375

1

验证正确。

5.浮点数的几种特殊情况

（1）0 的表示
对于阶码为 0 或 255 的情况，IEEE754 标准有特别的规定：
如果阶码 E=0 并且尾数 M 是 0，则这个数的真值为 ±0（正负号和数符位有关）。

因此 +0 的机器码为：0 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。
-0 的机器码为：1 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。

需要注意一点，浮点数不能精确表示 0，而是以很小的数来近似表示 0，因为浮点数的真值等于（以32bits单精度浮点数为例）：
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(−1)S×(1.M)×2e
e = E − 127 e=E-127e=E−127
那么 +0 的机器码对应的真值为1.0 × 2 − 127 1.0\times2^{-127}1.0×2−127。同理，-0 机器码真值为− 1.0 × 2 − 127 -1.0\times2^{-127}−1.0×2−127。

（2）+ ∞ +\infty+∞ 和 − ∞ -\infty−∞ 的表示
如果阶码 E=255 并且尾数 M 全是0，则这个数的真值为 ±∞（同样和符号位有关）。因此+ ∞ +\infty+∞的机器码为：0 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。− ∞ -\infty−∞的机器吗为：1 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。

（3）NaN（Not a Number）
如果 E = 255 并且 M 不是0，则这不是一个数（NaN）。

6.浮点数的精度和数值范围

6.1 浮点数的数值范围

根据上面的探讨，浮点数可以表示-∞到+∞，这只是一种特殊情况，显然不是我们想要的数值范围。

以 32 位单精度浮点数为例，阶码 E 由 8 位表示，取值范围为 0-255，去除 0 和 255 这两种特殊情况，那么指数 e 的取值范围就是 1-127=-126 到 254-127=127。

（1）最大正数
因此单精度浮点数最大正数值的符号位S=0，阶码E=254，指数e=254-127=127，尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111，其机器码为：0 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

那么最大正数值:
P o s M a x = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = + ( 1.11111111111111111111111 ) × 2 127 ≈ 3.402823 e + 38 PosMax=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)\times2^{127}\approx3.402823e+38PosMax=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127≈3.402823e+38
这是一个很大的数。

（2）最小正数
最小正数符号位S=0，阶码E=1，指数e=1-127=-126，尾数M=0，其机器码为0 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

那么最小正数为：
P o s M i n = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = + ( 1.0 ) × 2 − 126 ≈ 1.175494 e − 38 PosMin=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.0)\times2^{-126} \approx1.175494e-38PosMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.0)×2−126≈1.175494e−38

这是一个相当小的数。几乎可以近似等于0。当阶码E=0，指数为-127时，IEEE754就是这么规定1.0 × 2 − 127 1.0\times2^{-127}1.0×2−127近似为0的，事实上，它并不等于0。

（3）最大负数
最大负数符号位S=1，阶码E=1，指数e=1-127==-126，尾数M=0，机器码与最小正数的符号位相反，其他均相同，为：1 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

最大负数等于：
N e g M a x = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = − ( 1.0 ) × 2 − 126 ≈ − 1.175494 e − 38 NegMax=(-1)^S\times1.M\times2^e=-(1.0)\times2^{-126} \approx-1.175494e-38NegMax=(−1)S×1.M×2e=−(1.0)×2−126≈−1.175494e−38

（4）最小负数
符号位S=0，阶码E=254，指数e=254-127=127，尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111，其机器码为：1 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

计算得：
N e g M i n = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = + ( 1.11111111111111111111111 ) × 2 127 = − 3.402823 e + 38 NegMin=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)\times2^{127}=-3.402823e+38NegMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127=−3.402823e+38

6.2 浮点数的精度

说到浮点数的精度，先给精度下一个定义。浮点数的精度是指浮点数的小数位所能表达的位数。

阶码的二进制位数决定浮点数的表示范围，尾数的二进制位数表示浮点数的精度。以 32 位浮点数为例，尾数域有 23 位。那么浮点数以二进制表示的话精度是 23 位，23 位所能表示的最大数是2 23 − 1 = 8388607 2^{23}-1=8388607223−1=8388607，所以十进制的尾数部分最大数值是 8388607，也就是说尾数数值超过这个值，float 将无法精确表示，所以 float 最多能表示小数点后 7 位，但绝对能保证的为 6 位，即 float 的十进制的精度为 6~7 位。

64 位双精度浮点数的尾数域 52 位，因2 52 − 1 = 4 , 503 , 599 , 627 , 370 , 495 2^{52}-1=4,503,599,627,370,495252−1=4,503,599,627,370,495，所以双精度浮点数的十进制的精度最高为 16 位，绝对保证的为 15 位，所以 double 的十进制的精度为 15~16 位。

7.小结

本文操之过急，难免出现编辑错误和不当说法，请网友批评指正。不明之处，欢迎留言交流。对浮点数的加减乘除运算还未涉及，后续可能会去学习并记录学习所得，与大家分享。

参考文献

[1] 百度百科.移码
[2] 百度知道.关于IEEE754标准浮点数阶码的移码
[3] 白中英.计算机组成原理第四版[M].科学出版社:P16-30
[4] 维基百科.浮点数

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