欧几里得空间——标准正交基

定义5

欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

1.由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组。

2.正交向量组是线性无关的。

3.在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个。

定义6

在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵。因为度量矩阵是正定的，正定矩阵合同于单位矩阵，这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵。

在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 $\alpha =(\varepsilon _1,\alpha )\varepsilon _1+(\varepsilon _2,\alpha )\varepsilon _2+...+(\varepsilon _n,\alpha )\varepsilon _n$ 事实上，设 $\alpha =x_1\varepsilon _1+x_2\varepsilon _2+...+x_n\varepsilon _n.$ 用 $\varepsilon _i$ 与等式两边作内积，即得 $x_i=(\varepsilon _i,\alpha )(i=1,2,...,n).$ 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式，设 $\alpha =x_1\varepsilon _1+x_2\varepsilon _2+...+x_n\varepsilon _n,$ $\beta =y_1\varepsilon _1+y_2\varepsilon _2+...+y_n\varepsilon _n.$ 那么 $(\alpha ,\beta )=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n.$

下面结合内积的特点来讨论标准正交基的求法。

定理1

n维欧氏空间中任一正交向量组都能扩充成一组正交基。

定理2

对于n维欧氏空间中任意一组基 $\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n,$ 都可以找到一组标准正交基 $\eta _1,\eta _2,...,\eta _n,$ 使 $L(\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n)=L(\eta _1,\eta _2,...,\eta _n),i=1,2,...,n.$

应该指出，定理中的要求 $L(\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n)=L(\eta _1,\eta _2,...,\eta _n),i=1,2,...,n.$ 就相当于由基 $\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n$ 到基 $\eta _1,\eta _2,...,\eta _n$ 的过渡矩阵式上三角形的。

例：把 $\alpha _1=(1,1,0,0),$ $\alpha _2=(1,0,1,0),$ $\alpha _3=(-1,0,0,1),$ $\alpha _4=(1,-1,-1,1)$ 变成单位正交的向量组。

解：先把它们正交化，得 $\beta _1=\alpha _1=(1,1,0,0),$

$\beta _2=\alpha _2-\frac{(\alpha _2,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,0),$

$\beta _3=\alpha _3-\frac{(\alpha _3,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1-\frac{(\alpha _3,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}\beta _2=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},1),$

$\beta _4=\alpha _4-\frac{(\alpha _4,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1-\frac{(\alpha _4,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}\beta _2-\frac{(\alpha _4,\beta _3)}{(\beta _3,\beta _3)}\beta _3=(1,-1,-1,1).$

再单位化，得 $\eta _1=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0,0),$

$\eta _2=(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},0),$

$\eta _3=(-\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{3}{\sqrt{12}}),$

$\eta _4=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$

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