这一段细枝末节很多，一篇下来篇幅很长，读下来耗时，所以分了两个部分。

九、解释距离公式的原理。

下面介绍计算几何中最重要的公式之一：距离公式。该公式用来计算两点之间的距离。

首先，定义距离为两点间线段的长度。因为向量是有向线段，所以从几何意义上说，两点之间的距离等于从一个点到另一个点的向量的长度。现在，让我们导出3D中的距离公式。先计算从a到b的向量d,在3D情况中:

a到b的距离等于向量d的长度。之前学过如何计算向量长度。

1.3D距离公式

这样就导出了3D中的距离公式，2D中的公式更简单。

2.2D距离公式

看一个2D中的例子：

应注意，哪个点是a和哪个点是b并不重要。如果定义d为从b到a的向量而不是从a到b,会得到一个稍微不同但数学上等价的公式。

十、介绍第一种向量乘法：点乘。

1.运算法则

术语”点乘“来自记法a.b中的点号。与标量与向量的乘法一样，向量点乘的优先级高于加法和减法。标量乘法和标量与向量的乘法经常可以省略称呼，但在向量点乘中不能省略点乘号。

向量点乘就是对应分量乘积的和，其结果是一个标量：

2.向量点乘

用连加符号简写为：

3.向量点乘的连加记法

应用到2D、3D中，为：

4.2D和3D点乘

很明显，从公式中可以得出点乘满足交换律：

5.几何解释

一般来说，点乘结果描述了两个向量的”相似“程度，点乘结果越大，两向量越相近。几何解释更直观，如下图。

点乘等于向量大小与向量夹角的cos值得积：

6.向量点乘的几何解释

（3D中，两向量的夹角是在包含两向量的平面中定义的。）

解得：

7.用点乘计算两个向量的夹角

如果a、b是单位向量，就可以避免公式中的除法运算。在这种情况下，上式中公母是1，只剩下：

8.计算两个向量的夹角

向量大小并不影响点乘结果的符号，所以上表是和a、b大小无关的。注意，如果a、b中任意一个为零，那么最终的结果也等于零。因此，点乘对零向量的解释是，零向量和任意其他向量都垂直。

9.向量投影

十一、介绍第二种向量乘法：叉乘。

另一种向量乘法称作叉乘或叉积，仅可应用于3D向量。和点乘不一样，点乘得到一个标量并满足交换律，向量叉乘得到一个向量并且不满足交换律。

1.运算法则

和点乘一样，术语”叉乘“来自记法a X b 中的叉号。这里要把叉乘号写出来，不能像标量乘法那样省略它。

叉乘公式为：

叉乘的运算优先级和点乘一样，乘法在加减法之前计算。当点乘和叉乘在一起时，叉乘优先计算：

因为点乘返回一个标量，同时标量和向量间不能叉乘，，所以

没有定义，运算

称作三重积。

前面提到,向量叉乘不满足交换律。事实上，它满足反交换律

叉乘也不满足结合律。

2.几何解释

叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量，如图所示

图中，向量a和b在一个平面中。向量a X b 指向该平面的正上方，垂直于a 和 b。

a X b的长度等于向量的大小与向量夹角sin值得积，如下：

3.叉乘的长度与向量夹角的sin值有关

可以看到，||a X b||也等于以a和b为两边的平行四边形的面积，让我们验证这一结论，看图

由经典几何知识可知平行四边形的面积是bh,即底和高的乘积。可以验证这一点，通过把一端的三角形”切“下来移到另一边，可构成一个矩形，如下图所示

矩形的面积由长和宽确定，上图中为bh。因为转换后的矩形面积等于原平行四边形的面积，所以该平行四边形的面积也为bh。

如果a,b平行或任意一个为0，则a X b = 0，叉乘对零向量的解释为：它平行于任意其他向量。注意这和点乘的解释不同，点乘的解释是和任意其他向量垂直。（当然，定义零向量平行或垂直于任意向量都是不对的，因为零向量没有方向。）

已经证明了a X b 垂直于a、b。但是垂直于a、b有两个方向。a X b指向哪个方向呢？通过将a的头与b的尾相接，并检查从a 到 b是顺时针还是逆时针，能够确定a X b的方向。在左手坐标系中，如果a 和 b 呈顺时针，那么a X b指向您。如果a 和 b呈逆时针，a X b 远离您。在右手坐标系中，恰好相反，如果a 和 b呈顺时针，a X b远离您，如果a 和 b 呈逆时针，a X b指向您。

下图分别展示了顺时针和逆时针方向。

注意，探测顺时针还是逆时针，必须让a的头与b的尾相接，

叉乘最重要的应用就是创建垂直于平面、三角形或多边形的向量。

十二、列出一些向量的代数运算公式。