叉乘点乘混合运算公式_用抽象指标记号推导nabla算符相关公式

正好这段时间电动力学讲完了nabla算符的一些公式，一开始记起来还有点烦人，遂尝试用抽象指标记号推一下.

需要先说明的几件事:

算符在此处即为和欧式度规

适配的导数算符(ordinary derivative operator)
叉乘等价于x求对偶微分形式和楔积的复合^[1]:

此处的

是欧式度规适配体元，其在笛卡尔坐标基底下的分量

就是Levi-Civita记号

两个体元作张量积后缩并一部分指标，有以上规则^[1]，本文只讨论三阶协变和逆变体元的作用情形

推导过程中张量的作用经常需要用到欧式度规

及其逆矩阵

升降指标从而完成点乘等操作，为了不过于繁琐基本都省略掉了，注意保持好指标平衡即可
默认使用爱因斯坦求和
关于抽象指标记号的其他细节可以看梁书^[1]或者Wald的书^[2]

以下正文

最基本的梯度，散度和旋度可以表示为

一些比较重要的公式

关于并矢和其他二阶张量的公式

抽象指标记号的优点在于可以使证明过程变得简洁优雅，但是也有局限性，比如对于微分算子在复合函数上的作用，抽象指标记号就没有直接用经典的矢量场论描述来得方便.

参考

^^a^b^c《微分几何入门与广义相对论》，梁灿彬
^General Relativity, Robert M. Wald

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