1.循环矩阵的定义

定义1 数域P\mathbb{P}P上的n×nn \times nn×n矩阵
Cn=circ(c0,c1,⋯,cn−1)=(c0c1c2⋯cn−1cn−1cn−1c0c1⋯cn−3cn−2⋮⋮⋮⋱⋮⋮c2c3c4⋯c0c1c1c2c3⋯cn−1c0)C_{n} = circ(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}) = \begin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & \cdots & c_{n-1} & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_0 & c_1 & \cdots & c_{n-3} & c_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ c_2 & c_3 & c_4 & \cdots & c_{0} & c_{1}\\ c_1 & c_2 & c_3 & \cdots & c_{n-1} & c_{0}\\ \end{pmatrix} Cn=circ(c0,c1,⋯,cn−1)=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛c0cn−1⋮c2c1c1c0⋮c3c2c2c1⋮c4c3⋯⋯⋱⋯⋯cn−1cn−3⋮c0cn−1cn−1cn−2⋮c1c0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
其中ci∈Pc_i \in \mathbb{P}ci∈P，称CnC_{}nCn为n×nn \times nn×n循环矩阵。

取基本循环矩阵为
A=(010⋯00001⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯01100⋯00)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮0110⋮0001⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮0000⋮10⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
则CnC_{n}Cn可以写作
Cn=c0I+c1A1+c2A2+⋯+cn−1An−1=∑i=0n−1ciAi.C_{n} = c_0 I + c_1 A^1 + c_2 A^2 + \cdots + c_{n-1} A^{n-1} = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^i. Cn=c0I+c1A1+c2A2+⋯+cn−1An−1=i=0∑n−1ciAi.

定理1 数域P\mathbb{P}P上的n×nn \times nn×n矩阵Cn=(Ci,j)C_{n}=(C_{i,j})Cn=(Ci,j)为循环矩阵的充分必要条件是，当
k={i−j,i≥ji−j+n,i<jk=\begin{cases} i-j, &i \geq j\\ i-j+n, &i < j \end{cases} k={i−j,i−j+n,i≥ji<j
时，Ci,j=ckC_{i,j} = c_kCi,j=ck，其中i,j,k=0,1,2,⋯,n−1i,j,k = 0,1,2,\cdots, n-1i,j,k=0,1,2,⋯,n−1。

2.循环矩阵的性质

性质1 基本循环矩阵A1,A2,⋯,AnA^1, A^2, \cdots, A^nA1,A2,⋯,An是线性无关的。
证明
A2=(010⋯00001⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯01100⋯00)(010⋯00001⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯01100⋯00)=(001⋯00000⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮100⋯00010⋯00)A3=(000⋯00000⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮010⋯00001⋯00)⋯An=(100⋯00010⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯10000⋯01)=In\begin{aligned} A^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ A^3 & =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \cdots \\ A^n &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = I_{n} \end{aligned} A2A3⋯An=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮0110⋮0001⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮0000⋮10⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮0110⋮0001⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮0000⋮10⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮1000⋮0110⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮0000⋮00⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮0000⋮1000⋮01⋯⋯⋱⋯⋯00⋮0000⋮00⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛10⋮0001⋮0000⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮1000⋮01⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞=In

性质2 任意nnn阶循环矩阵CnC_nCn都可以用基本循环矩阵线性表出，即
Cn=c0I+c1A1+c2A2+⋯+cn−1An−1=∑i=0n−1ciAi.C_{n} = c_0 I + c_1 A^1 + c_2 A^2 + \cdots + c_{n-1} A^{n-1} = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^i. Cn=c0I+c1A1+c2A2+⋯+cn−1An−1=i=0∑n−1ciAi.

性质2 任意nnn阶基本循环矩阵AAA的乘积仍为基本循环矩阵。

定理2 数域P\mathbb{P}P上的n×nn \times nn×n循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，基为A1,A2,⋯,AnA^1, A^2, \cdots, A^nA1,A2,⋯,An，零向量为An=InA^n = I_nAn=In，负向量为−A-A−A。

性质3 循环矩阵的乘积还是循环矩阵。

证明设B,CB,CB,C都是nnn阶循环矩阵，用基本循环矩阵表示B=∑i=1nbiAiB = \sum_{i=1}^{n}b_i A^iB=∑i=1nbiAi和C=∑i=1nciAiC = \sum_{i=1}^{n}c_i A^iC=∑i=1nciAi，则
BC=(∑i=1nbiAi)(∑i=1nciAi)=∑i=1n∑j=1nbicjAiAj=∑i=1,j=1nbicjA((i+j)modn)=∑k=1n(∑i,j=1,i+j=kmodnnbicj)Ak.\begin{aligned} BC & = \left( \sum_{i=1}^{n}b_i A^i \right) \left( \sum_{i=1}^{n}c_i A^i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} b_i c_j A^i A^j \\ & = \sum_{i=1,j=1}^{n} b_i c_j A^{((i+j) \mod n)} \\ & = \sum_{k=1}^{n} \left( \sum_{ \tiny \begin{array}{l} i,j=1, \\ i+j = k \mod n \end{array} }^{n} b_i c_j \right) A^k. \end{aligned} BC=(i=1∑nbiAi)(i=1∑nciAi)=i=1∑nj=1∑nbicjAiAj=i=1,j=1∑nbicjA((i+j)modn)=k=1∑n⎝⎜⎛i,j=1,i+j=kmodn∑nbicj⎠⎟⎞Ak.

定理3 循环矩阵的伴随矩阵是循环矩阵。

证明设CnC_nCn是nnn阶循环矩阵Cn=∑i=1nciAiC_n = \sum_{i=1}^{n}c_i A^iCn=∑i=1nciAi，下面分两种情况考虑。

（1），当CnC_nCn为可逆矩阵时，考虑线性方程组CnTx⃗=(∣Cn∣,0,⋯,0)TC_n^T \vec{x} = (|C_n|,0,\cdots, 0)^TCnTx=(∣Cn∣,0,⋯,0)T，因为系数矩阵的行列式∣CnT∣=∣Cn∣≠0|C_n^T| = |C_n| \neq 0∣CnT∣=∣Cn∣=0。故方程组存在唯一的解，设为x⃗=(b1,b2,⋯,bn)T\vec{x} = (b_1,b_2,\cdots,b_n)^Tx=(b1,b2,⋯,bn)T。

令B=∑i=1nbiAiB=\sum_{i=1}^{n} b_i A^iB=∑i=1nbiAi，则
BC=∑k=1n(∑i,j=1,i+j=kmodnnbicj)AkBC = \sum_{k=1}^{n} \left( \sum_{ \tiny \begin{array}{l} i,j=1, \\ i+j = k \mod n \end{array} }^{n} b_i c_j \right) A^k BC=k=1∑n⎝⎜⎛i,j=1,i+j=kmodn∑nbicj⎠⎟⎞Ak

又x⃗TCn=(∣Cn∣,0,⋯,0)\vec{x}^T C_n = (|C_n|,0,\cdots, 0)xTCn=(∣Cn∣,0,⋯,0)，对比有BCn=∣Cn∣InBC_n = |C_n|I_nBCn=∣Cn∣In。从而有B=∣Cn∣Cn−1=Cn∗B=|C_n| C_n^{-1} = C_{n}^{*}B=∣Cn∣Cn−1=Cn∗，显然BBB为循环矩阵。

（2）当CnC_nCn为不可逆矩阵时，考虑Cn−tAC_n-tACn−tA，其行列式为f(t)=det⁡(C−tA)f(t)=\det(C-tA)f(t)=det(C−tA)为ttt的nnn次多项式，在数域P\mathbb{P}P至多有nnn个根，当ttt大于最大的根t0t_0t0时，f(t)=det⁡(C−tA)≠0f(t)=\det(C-tA) \neq 0f(t)=det(C−tA)=0，则矩阵Cn−tAC_n-tACn−tA可逆。

再根据（1），可知伴随矩阵(Cn−tA)∗=(ai,j(t))\left( C_n-tA \right)^{*} = \left( a_{i,j}(t) \right)(Cn−tA)∗=(ai,j(t))为循环矩阵，所以满足循环矩阵的充要条件：
k={i−j,i≥ji−j+n,i<jk = \begin{cases} i-j, &i \geq j\\ i-j+n, &i < j \end{cases} k={i−j,i−j+n,i≥ji<j
时，Ci,j=ckC_{i,j} = c_kCi,j=ck，有ai,j(t)=ak(t)a_{i,j}(t) = a_{k}(t)ai,j(t)=ak(t)。

再根据多项式的性质，当t>t0t>t_0t>t0，上面的多项式都是相等的，则对于整个实轴多项式都相等的，特别当t=0t=0t=0时，即(Cn−0A)∗=Cn∗\left( C_n-0A \right)^{*}=C_n^{*}(Cn−0A)∗=Cn∗为循环矩阵。

定理4 循环矩阵的逆矩阵是循环矩阵。

3.循环矩阵的逆及特征值

循环矩阵的逆矩阵是循环矩阵，即有
Cn−1=circb(b0,b1,⋯,bn−1),C_n^{-1} = circb(b_0, b_1, \cdots, b_{n-1}), Cn−1=circb(b0,b1,⋯,bn−1),
其中
bj=1n∑k=0n−1λn−jk[f(λk)]−1,b0=bn,j=1,2,⋯,n.λk=e2kπni=cos⁡2kπn+isin⁡2kπn,k=0,1,⋯,n−1.\begin{aligned} b_j &= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_{n-j}^k \left[ f(\lambda_{k}) \right]^{-1} , \qquad b_0 = b_n, \qquad j=1,2,\cdots,n. \\ \lambda_{k} &= e^{\frac{2k \pi}{n}i} = \cos \frac{2k \pi}{n} + i \sin \frac{2k \pi}{n}, \qquad k=0,1,\cdots,n-1. \end{aligned} bjλk=n1k=0∑n−1λn−jk[f(λk)]−1,b0=bn,j=1,2,⋯,n.=en2kπi=cosn2kπ+isinn2kπ,k=0,1,⋯,n−1.

λk\lambda_{k}λk是nnn次方程λn−1=0\lambda_{n} - 1= 0λn−1=0的nnn个nnn次单位根。f(x)=∑i=0n−1cixif(x)=\sum_{i=0}^{n-1} c_i x^{i}f(x)=∑i=0n−1cixi，系数cic_ici是循环矩阵第一行的元素。

由bjb_jbj可知循环矩阵可逆的条件为f(λk)≠0,k=0,1,⋯,n−1f(\lambda_{k}) \neq 0, \quad k = 0, 1, \cdots, n-1f(λk)=0,k=0,1,⋯,n−1。

根据循环矩阵可以用基本循环矩阵线性表，有Cn=∑i=0n−1ciAi=f(A)C_n = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^{i} = f(A)Cn=∑i=0n−1ciAi=f(A)

如果有Ax⃗=λx⃗A \vec{x} = \lambda \vec{x}Ax=λx，则有
Akx⃗=Ak−1(Ax⃗)=Ak−1λx⃗=λAk−1x⃗=⋯=λkx⃗A^k \vec{x} = A^{k-1} \left( A \vec{x} \right) = A^{k-1} \lambda \vec{x} = \lambda A^{k-1} \vec{x} = \cdots = \lambda^{k} \vec{x} Akx=Ak−1(Ax)=Ak−1λx=λAk−1x=⋯=λkx
进而有
Cnx⃗=f(λ)x⃗.C_n \vec{x} = f(\lambda) \vec{x}. Cnx=f(λ)x.
上式表明，求CnC_nCn的特征值f(λ)f(\lambda)f(λ)的问题可转化为求AAA的特征值，他们有相同的特征向量x⃗\vec{x}x。

∣λI−A∣=∣λ−10⋯000λ−1⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λ−1−100⋯0λ∣=λn−1=0\left| \lambda I - A\right| = \left| \begin{matrix} \lambda & - 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & - 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & - 1 \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\ \end{matrix} \right| = \lambda^n - 1 =0 ∣λI−A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ0⋮0−1−1λ⋮000−1⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮λ000⋮−1λ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=λn−1=0

对于特征值λk\lambda_{k}λk的特征向量为
x⃗k=(1,λk,λk2,⋯,λkn−1)T,k=0,1,⋯,n−1\vec{x}_k = \left( 1, \lambda_{k}, \lambda_{k}^2, \cdots, \lambda_{k}^{n-1} \right)^T, \quad k = 0, 1, \cdots, n-1 xk=(1,λk,λk2,⋯,λkn−1)T,k=0,1,⋯,n−1

当i≠ji \neq ji=j时，λi≠λj\lambda_i \neq \lambda_jλi=λj，因此CnC_nCn有完备的特征向量系。将特征向量组成矩阵PPP：
P=(11⋯1λ0λ1⋯λn−1λ02λ12⋯λn−12⋮⋮⋱⋮λ0n−1λ1n−1⋯λn−1n−1)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_{0} & \lambda_{1} & \cdots & \lambda_{n-1} \\ \lambda_{0}^{2} & \lambda_{1}^{2} & \cdots & \lambda_{n-1}^{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_{0}^{n-1} & \lambda_{1}^{n-1} & \cdots & \lambda_{n-1}^{n-1} \\ \end{pmatrix} P=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛1λ0λ02⋮λ0n−11λ1λ12⋮λ1n−1⋯⋯⋯⋱⋯1λn−1λn−12⋮λn−1n−1⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
有P−1CnP=diag(f(λ0),f(λ1),⋯,f(λn−1))P^{-1} C_n P = diag(f(\lambda_{0}),f(\lambda_{1}),\cdots, f(\lambda_{n-1}))P−1CnP=diag(f(λ0),f(λ1),⋯,f(λn−1))。

可得结论：在复数域C\mathbb{C}C上，存在一个可逆矩阵PPP将C\mathbb{C}C上的所有的循环矩阵同时相似对角化。

另外有c0=1n∑k=0n−1f(λk)c_0 = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(\lambda_{k})c0=n1∑k=0n−1f(λk) 和det⁡Cn=∏k=0n−1f(λk)\det C_n = \prod_{k=0}^{n-1} f(\lambda_{k})detCn=∏k=0n−1f(λk)。

4.利用循环矩阵求特征值的方法求Jacobi矩阵的特征值

在数值代数研究中，有时候得到如下形式的nnn阶Jacobi矩阵
Jn=(adcad⋱⋱⋱cadcad)J_n = \begin{pmatrix} a & d & & & \\ c & a & d & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & c & a & d \\ & & & c & a & d \\ \end{pmatrix} Jn=⎝⎜⎜⎜⎜⎛acda⋱d⋱c⋱acdad⎠⎟⎟⎟⎟⎞
对其添加一行一列，则得到n+1n+1n+1阶的循环矩阵
circ(a,d,0,⋯,0,c)=(adccad0⋱⋱⋱⋮⋱⋱d0cadd0⋯0ad)circ(a,d,0,\cdots, 0, c) = \begin{pmatrix} a & d & & & & c\\ c & a & d & & & 0\\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & \ddots & d & 0\\ & & & c & a & d \\ d & 0 & \cdots & 0 & a & d \\ \end{pmatrix} circ(a,d,0,⋯,0,c)=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛acdda⋱0d⋱⋱⋯⋱⋱c0daac0⋮0dd⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

这样一来，我们可以使用循环矩阵的某些结果来获得JnJ_nJn的一些结果。

下面利用循环矩阵求特征值的结果来求JnJ_nJn的特征值。

记
circ(a,d,0,⋯,0,c)=D=aI+dA+cAn−1circ(a,d,0,\cdots, 0, c) = D = a I + d A + c A^{n-1} circ(a,d,0,⋯,0,c)=D=aI+dA+cAn−1
则D=f(A)D=f(A)D=f(A)，如果Ax⃗=λx⃗A \vec{x} = \lambda \vec{x}Ax=λx则有Dx⃗=f(λ)x⃗D \vec{x} = f(\lambda) \vec{x}Dx=f(λ)x。

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循环矩阵求特征值的方法

文章目录

1.循环矩阵的定义

2.循环矩阵的性质

3.循环矩阵的逆及特征值

4.利用循环矩阵求特征值的方法求Jacobi矩阵的特征值

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