求矩阵全部特征值和特征向量的QR方法

计算方法
本专栏为西安交通大学的《数值计算》研究生教材里面提供的计算方法撰写Python程序。
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import numpy as np
import math

def sgn1(x):
if x > 0:
return 1
elif x == 0:
return 0
elif x < 0:
return -1

ai2 = np.mat([[-1, 2, 1],
[2, -4, 1],
[1, 1, -6]], dtype=float)
n = ai2.shape[0]
for i in range(n-2):
c = -1sgn1(ai2[i+1, i])np.sqrt(np.sum(np.multiply(ai2[i+1:n, i], ai2[i+1:n, i])))
lou = np.sqrt(2c(c-ai2[i+1, i]))
l = ai2[i+1:n, i]
l1 =l.copy()
l1[0] = l1[0]-c
b = l1/lou
a = np.mat(np.zeros((i+1, 1)))
u = np.vstack((a, b))
I = np.mat(np.eye(n))
H = I-2uu.T
ai2 = Hai2H.T
err = 1
ai3 = ai2.copy()
for t in range(88):
i = 0
sita = math.atan(ai2[i+1, i]/ai2[i, i])
c = math.cos(sita)
s = math.sin(sita)
V1 = np.mat(np.eye(n))
V1[i,i] = c
V1[i+1,i] = -s
V1[i,i+1] = s
V1[i+1, i+1] = c
ai2 = V1ai2
i = 1
sita = math.atan(ai2[i+1, i]/ai2[i, i])
c = math.cos(sita)
s = math.sin(sita)
V2 = np.mat(np.eye(n))
V2[i,i] = c
V2[i+1,i] = -s
V2[i,i+1] = s
V2[i+1, i+1] = c
ai2 = V2ai2
ai2 = ai2V1.TV2.T
print(‘迭代88次后得：’)
print(ai2)
print(‘矩阵的特征值为{:.7},{:.7}，{:.7}’.format(ai2[0, 0],ai2[1, 1],ai2[2, 2]))

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