最长公共子序列 - 北京大学郭炜动态规划代码详解

解题思路：
该题可用动态规划解决。动态规划需要我们找出子问题。
假设我们输入两个字符串：

ACTTGACC CGTT

那么如何通过动态规划算出其最大公共子序列的长度呢？

建立如上二维数组，我们可以知道：
A和C的最长公共子序列为 0；
AC和C的最长公共子序列为 1；
ACT和C的最长公共子序列为 1；
……
ACTTGACC和C的最长公共子序列为 1；

A到CG的最长公共子序列为 0；
AC到CG的最长公共子序列为 1；
……
ACTTG到CG的最长公共子序列为 2；
……

我们大致可以看出子问题的规律：
设str1=ACTTGACC，str2=CGTT
建立二维数组 maxLen[str1.size()][str2.size()]
第一种情况：
当子串末位元素不相等时:
如

则需要通过判断maxLen[ i ][ j ]上方和左方的元素哪一个更大，选择更大的数值作为maxLen[ i ][ j ]的值。
因为AC到C的最长上升子序列为1，A到CG的最长上升子序列为0，则AC到CG的最长上升子序列必定是AC到C或A到CG中比较大的那个值。

第二种情况：
当子串末位元素相等时：
如
则需要将maxLen[ i ][ j ]左上方的元素+1赋给maxLen[ i ][ j ]；
因为ACTT和C的最长上升子序列为1，那么ACTTG和CG的最长上升子序列必定是ACTT和C的最长上升子序列+1，即1+1 = 2；

根据上面这两种情况，我们可以写出伪代码：

if (a === b) {table[row][col] = table[row - 1][col - 1] + 1;
} else {table[row][col] = Math.max(table[row][col - 1], table[row - 1][col]);
}

求到最后，我们便可以得知ACTTGACC和CGTT的最长公共子序列的长度为3。

思考：为什么表格第2行以及第2列需要初始化为0？
主要是方便我们在扫描子串的过程中，即使在表格边缘，也可以用上面我们所讲到的方式去判别边缘格子中的数字应该是几。

代码：

#include "iostream"
using namespace std;
int main(){string str1,str2;cin>>str1>>str2;//【易错】构建一个str1.size()行，str2.size()列的矩阵int maxLen[str1.size()+1][str2.size()+1];//【下标易错】初始化表格for (int i=0;i<=str2.size();i++){maxLen[0][i] = 0;}for (int j=0;j<=str1.size();j++){maxLen[j][0] = 0;}for (int i = 1;i<=str1.size();i++){for (int j = 1;j<=str2.size();j++){if (str1[i-1]==str2[j-1]){//子串末尾元素相等，则把左上角元素+1后赋值给该位置maxLen[i][j] = maxLen[i-1][j-1] + 1;} else {//子串末尾元素不相等，则找左边和上边相邻元素做判断，//把最大值赋值给该位置maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j-1],maxLen[i-1][j]);}}}cout<<maxLen[str1.size()][str2.size()];
}