最长公共子序列及其引申问题
最长公共子序列是经典的动态规划问题，在很多书籍和文章中都有介绍，这里对这一经典算法进行回顾并对两个follow up questions进行总结和分析。
1. 回顾LCS（longest common subsequence）解法，求LCS长度
典型的双序列动态规划问题，dp[i][j]表示第一个序列前i项与第二个序列的前j项....
所以对应此题，dp[i][j]表示序列s1的前i项与序列s2的前j项的最长公共子序列。
得到如下递推关系式：
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 if s1[i - 1] == s2[j - 1]
= max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) if s1[i - 1] != s2[j - 1] ;
对dp[0][j] j = 0,1,... 于 dp[i][0] i = 0,1...初始化，根据递推关系式则可以得到结果。
程序：
1 int longsetCommonSubsequence(const string& s1, const string& s2) {
2 int sz1 = s1.size(), sz2 = s2.size();
3 int dp[sz1 + 1][sz2 + 1];
4 for (int i = 0; i <= sz1; ++i) {
5 dp[i][0] = 0;
6 }
7 for (int i = 0; i <= sz2; ++i) {
8 dp[0][i] = 0;
9 }
10 for (int i = 1; i <= sz1; ++i) {
11 for (int j = 1; j <= sz2; ++j) {
12 if (s1[i] == s2[j]) {
13 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
14 }
15 else {
16 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
17 }
18 }
19 }
20 return dp[sz1][sz2];
21 }2. 如何得到最长公共子序列？
其实本质上，当有了dp数组时，即得到了行程LCS的所有信息。
我们考察一个例子，求s1 = "ABCBDAB" 和 s2 = "BDCABA"的 LCS， 得到其dp数组如下。（图片来自邹博）
我们可以看到，当dp数组被填充完毕后。反向探索LCS的形成过程，结合递推公式可知，每一个添加到LCS中的字符是在s1[i - 1] == s2[j - 1]的情况下加入的。
也就是上述图中向同时向左上方的那些步骤，而对应s1[i - 1] != s2[j - 1]的那些步骤，则选择其dp值大的（原因在于生成的时候路径就是选的max）进行前进即可。
所以总结寻找LCS的算法步骤即：
如果s1[i - 1] == s2[j - 1]，将其push_back到结果中；
如果s1[i - 1] != s2[j - 1]，选择dp[i - 1][j]与dp[i][j - 1]中大的更新i--或j--。
直到i或者j达到0后，翻转上述结果即可。
代码：
1 string longsetCommonSubsequence2(const string& s1, const string& s2) {
2 int sz1 = s1.size(), sz2 = s2.size();
3 int dp[sz1 + 1][sz2 + 1];
4 for (int i = 0; i <= sz1; ++i) {
5 dp[i][0] = 0;
6 }
7 for (int i = 0; i <= sz2; ++i) {
8 dp[0][i] = 0;
9 }
10 for (int i = 1; i <= sz1; ++i) {
11 for (int j = 1; j <= sz2; ++j) {
12 if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
13 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
14 }
15 else {
16 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
17 }
18 }
19 }
20 string result;
21 int i = sz1, j = sz2;
22 while (i > 0 && j > 0) {
23 if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) { //对应的是s1[i - 1]， s2[j - 1]
24 result.push_back(s1[i - 1]);
25 i--;
26 j--;
27 }
28 else {
29 if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
30 i--;
31 }
32 else {
33 j--;
34 }
35 }
36 }
37 reverse(result.begin(), result.end());
38 return result;
39 }3. 有多组解都要输出怎么办？
首先考虑什么时候会有多组解？还考虑上述图示可以发现，当s1[i - 1] != s2[j -1]但 dp[i - 1][j] == dp[i][j - 1]时，i--， j--均可。所以可能产生多组解。
想要输出所有解的想法其实也很直观，就是DFS，把所有情况都遍历一遍，并进行去重(代码中find语句)，把不同路径的相同解删除掉，即可得到所有解。
一段完整的，带简单测试的程序如下：
1 #include <iostream>
2 #include <string>
3 #include <vector>
4 #include <algorithm>
5 using namespace std;
6 vector<int> temp;
7 vector<vector<int>> resultIndex;
8 void dfs(const vector<vector<int>>& dp, const string& s1, const string& s2, int i, int j) {
9 if (i == 0 || j == 0) {
10 if (find(resultIndex.begin(), resultIndex.end(), temp) == resultIndex.end()) {
11 resultIndex.push_back(temp);
12 }
13 return ;
14 }
15 if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
16 temp.push_back(i - 1);
17 dfs(dp, s1, s2, i - 1, j - 1);
18 }
19 else {
20 if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
21 dfs(dp,s1,s2,i - 1, j);
22 }
23 else if (dp[i - 1][j] < dp[i][j - 1]) {
24 dfs(dp, s1, s2, i, j - 1);
25 }
26 else {
27 vector<int> temp2 = temp;
28 dfs(dp,s1,s2,i - 1, j);
29 temp = temp2;
30 dfs(dp,s1,s2,i, j - 1);
31 }
32 }
33 return;
34 }
35
36 vector<string> longsetCommonSubsequence2(const string& s1, const string& s2) {
37 int sz1 = s1.size(), sz2 = s2.size();
38 vector<vector<int>> dp(sz1 + 1,vector<int>(sz2 + 1));
39 for (int i = 0; i < sz1; ++i) {
40 dp[i][0] = 0;
41 }
42 for (int i = 0; i < sz2; ++i) {
43 dp[0][i] = 0;
44 }
45 for (int i = 1; i <= sz1; ++i) {
46 for (int j = 1; j <= sz2; ++j) {
47 if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
48 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
49 }
50 else {
51 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
52 }
53 }
54 }
55 vector<string> result;
56 dfs(dp,s1,s2,sz1,sz2);
57 for (int i = 0; i < resultIndex.size(); ++i) {
58 string s;
59 result.push_back(s);
60 for (int j = resultIndex[i].size() - 1; j >= 0; --j) {
61 result[i].push_back(s1[resultIndex[i][j]]);
62 }
63 }
64 return result;
65
66 }
67
68 int main() {
69 string s1 = "ABCBDAB", s2 = "BDCABA";
70 vector<string> result = longsetCommonSubsequence2(s1,s2);
71 for (int i = 0; i < result.size(); ++i) {
72 cout << result[i] << endl;
73 }
74 return 0;
75 }转载于:https://www.cnblogs.com/wangxiaobao/p/5982901.html
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