高等数理统计(part2)--常见的离散型分布

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常见的离散型分布

常见的离散型分布

单点分布P(x=a)=1P(x = a) = 1P(x=a)=1
离散均匀分布X∼U(m)X \sim U(m)X∼U(m)，即P(X=i)=1mP(X = i) = \frac{1}{m}P(X=i)=m1
两点分布X∼b(1,θ)X \sim b(1, \theta)X∼b(1,θ)，即P(X=1)=θ,P(X=0)=1−θP(X = 1) = \theta, P(X = 0) = 1- \thetaP(X=1)=θ,P(X=0)=1−θ

二项分布X∼b(n,θ)X \sim b(n, \theta)X∼b(n,θ)：n次相互独立试验中，事件A发生的次数，P(X=k)=Cnkθk(1−θ)n−kP(X = k) = C_n^k \theta^k(1-\theta)^{n-k}P(X=k)=Cnkθk(1−θ)n−k

X∼b(n,θ)X \sim b(n, \theta)X∼b(n,θ)的特征函数:

可加性:

若X1∼b(n1,θ),X2∼b(n2,θ)X_1 \sim b(n_1, \theta), X_2 \sim b(n_2, \theta)X1∼b(n1,θ),X2∼b(n2,θ)且独立，则X1+X2∼B(n1+n2,θ)X_1 + X_2 \sim B(n_1 + n_2, \theta)X1+X2∼B(n1+n2,θ)

X∼b(n,θ)X \sim b(n, \theta)X∼b(n,θ)的极限分布:

X−nθnθ(1−θ)→N(0,1)\frac{X - n \theta}{\sqrt{n \theta(1-\theta)}} \to N(0, 1) nθ(1−θ)X−nθ→N(0,1)

几何分布X∼G(θ)X \sim G(\theta)X∼G(θ)：首次成功所需试验次数，P(X=k)=(1−θ)k−1θP(X = k) = (1-\theta)^{k-1}\thetaP(X=k)=(1−θ)k−1θ

特征函数：

令q=1−θq = 1-\thetaq=1−θ，则：
φ′(t)=θieit(1−qeit)2\varphi'(t) = \frac{\theta i e^{it}}{(1-qe^{it})^2} φ′(t)=(1−qeit)2θieit

于是，φ′(0)=i1θ\varphi'(0)=i\frac{1}{\theta}φ′(0)=iθ1，所以E(X)=1θE(X) = \frac{1}{\theta}E(X)=θ1

以下计算E(X2)E(X^2)E(X2)：

泊松分布X∼P(λ)X \sim P(\lambda)X∼P(λ)

联合概率密度函数：
P(X=k)=e−λλkk!,k=0,1,⋯P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \; k=0,1,\cdots P(X=k)=k!e−λλk,k=0,1,⋯

特征函数：

φ′(0)=iλ\varphi'(0) = i\lambdaφ′(0)=iλ，所以E(X)=λE(X) = \lambdaE(X)=λ
φ′′(0)=i2(λ+λ2)\varphi''(0) =i^2(\lambda + \lambda^2)φ′′(0)=i2(λ+λ2)，所以E(X2)=λ+λ2E(X^2) = \lambda + \lambda^2E(X2)=λ+λ2
因此，Var(X)=λVar(X) = \lambdaVar(X)=λ

Pascal分布X∼PA(r,θ)X \sim PA(r, \theta)X∼PA(r,θ)：X表示取得r次成功所需实验次数，每次实验成功的概率为θ\thetaθ，则

负二项分布X∼NB(r,θ)X \sim NB(r, \theta)X∼NB(r,θ)，(XXX表示rrr次成功所经历失败的次数)，因此，X+rX + rX+r表示成功r次所需的试验次数，令Y=X+rY = X + rY=X+r，则Y∼PA(r,θ)Y \sim PA(r, \theta)Y∼PA(r,θ),于是：

性质：

X∼NB(r,θ)X \sim NB(r, \theta)X∼NB(r,θ)的特征函数：