一、离散型分布

1.1 伯努利分布

在一次试验中，事件AAA出现的概率为ppp，不出现的概率为q=1−pq=1-pq=1−p，若以β\betaβ记事件AAA出现的次数，则β\betaβ取0,10, 10,1两值，相应的概率分布为bk=P{β=k}=pkq1−k,k=0,1(1)b_k=P\{\beta=k\}=p^kq^{1-k}, k=0,1\tag1bk=P{β=k}=pkq1−k,k=0,1(1)
这个分布称为伯努利分布，亦称为两点分布。

1.2 二项分布

在nnn重伯努利试验中，若以μ\muμ记作成功的次数，则它是一个随机变量，μ\muμ可能取的值为0,1,2⋯,n0,1,2\cdots,n0,1,2⋯,n，其对应的概率分布为b(k;n,p)=P{μ=k}=Cnkpkqn−k,k=0,1,2⋯,n(2)b(k;n,p)=P\{\mu=k\}=C_n^kp^kq^{n-k}, k=0,1,2\cdots,n\tag2b(k;n,p)=P{μ=k}=Cnkpkqn−k,k=0,1,2⋯,n(2)
简记为μ∼B(n,p)\mu\sim B(n,p)μ∼B(n,p)

1.3泊松分布

若随机变量ξ\xiξ可取一切非负整数值，且p{ξ=k}=λkk!e−λ,k=0,1,2⋯(3)p\{\xi=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2\cdots\tag3p{ξ=k}=k!λke−λ,k=0,1,2⋯(3)
其中，λ>0\lambda\gt0λ>0，则称ξ\xiξ服从泊松分布，简记为ξ∼P(λ)\xi\sim P(\lambda)ξ∼P(λ)

1.4 几何分布

在成功概率为ppp的伯努利试验中，若以η\etaη记成功首次出现时的试验次数，则η\etaη为随机变量，它可能取的值为1,2,3⋯1,2,3\cdots1,2,3⋯，其概率分布为g(k,p)=P{η=k}=qk−1p,k=1,2,⋯(4)g(k,p)=P\{\eta=k\}=q^{k-1}p, k=1, 2, \cdots\tag4g(k,p)=P{η=k}=qk−1p,k=1,2,⋯(4)
简记为η∼g(k,p)\eta\sim g(k,p)η∼g(k,p)

几何分布有一个重要的性质——无记忆性：
假定已知在前mmm次试验中没有出现成功，那么为了达到首次成功还需要再等待的次数为η′\eta^{'}η′，其概率分布为P{η′=k}=P{η=m+k∣η>m}=P{η=m+k}P{η>m}=qm+k−1pqm=qk−1p,k=1,2,⋯P\{\eta^{'}=k\}=P\{\eta=m+k|\eta\gt m\}=\frac{P\{\eta=m+k\}}{P\{\eta\gt m\}}=\frac{q^{m+k-1}p}{q^m}=q^{k-1}p, k=1,2,\cdotsP{η′=k}=P{η=m+k∣η>m}=P{η>m}P{η=m+k}=qmqm+k−1p=qk−1p,k=1,2,⋯
可见，η′\eta^{'}η′的分布还是几何分布，即为了达到首次成功还需要再等待的次数与前面的失败次数无关。

1.5 帕斯卡分布

在成功概率为ppp的伯努利试验中，若以ζ\zetaζ记第rrr次成功出现时的试验次数，则ζ\zetaζ是随机变量，取值r,r+1,⋯r, r+1, \cdotsr,r+1,⋯，其概率分布为帕斯卡分布：P{ζ=k}=Ck−1r−1prqk−r,k=r,r+1,⋯(5)P\{\zeta=k\}=C_{k-1}^{r-1}p^{r}q^{k-r},k=r,r+1,\cdots\tag 5P{ζ=k}=Ck−1r−1prqk−r,k=r,r+1,⋯(5)

二、连续型分布

首先需要知道的是，连续型随机变量取个别值的概率为000，即P{ξ=c}=0P\{\xi=c\}=0P{ξ=c}=0。在图型上，密度函数对各种分布的特征的显示要比分布函数优胜的多，因此它比分布函数更加常用。

2.1 均匀分布

若a,ba, ba,b为有限数，由下列密度函数定义的分布称为[a,b][a,b][a,b]上的均匀分布：p(x)={1b−a,a≤x≤b0,x<a或x>b(6)p(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}, &a\le x \le b\\ 0, &x\lt a或x\gt b \end{cases}\tag6p(x)={b−a1,0,a≤x≤bx<a或x>b(6)
记作U[a,b]U[a,b]U[a,b]

2.2 正态分布

密度函数为p(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<∞(7)p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, -\infty\lt x\lt \infty\tag7p(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<∞(7)
其中，σ>0\sigma\gt0σ>0，μ\muμ和σ\sigmaσ均为常数，这种分布称为正态分布，简记为N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)。特别的，当μ=0,σ=1\mu=0, \sigma=1μ=0,σ=1时，称为标准正态分布，记为N(0,1)N(0,1)N(0,1)，相应的密度函数和分布函数记为φ(x)\varphi(x)φ(x)和Φ(x)\Phi(x)Φ(x)。

可以验证，如果随机变量ξ\xiξ服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)，那么ξ−μσ\frac{\xi-\mu}{\sigma}σξ−μ服从N(0,1)N(0,1)N(0,1)。而且p{∥ξ−μ∣<σ}≈68.27%(8)p\{\|\xi-\mu|\lt\sigma\}\approx68.27\%\tag8p{∥ξ−μ∣<σ}≈68.27%(8)
p{∥ξ−μ∣<2σ}≈95.45%(9)p\{\|\xi-\mu|\lt2\sigma\}\approx95.45\%\tag9p{∥ξ−μ∣<2σ}≈95.45%(9)
p{∥ξ−μ∣<3σ}≈99.73%(10)p\{\|\xi-\mu|\lt3\sigma\}\approx99.73\%\tag{10}p{∥ξ−μ∣<3σ}≈99.73%(10)

2.3 指数分布

密度函数为p(x)={λe−λx,x≥00,x<0p(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, &x\ge0\\ 0, &x\lt0 \end{cases}p(x)={λe−λx,0,x≥0x<0，分布函数为F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0F(x)=\begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, &x\ge0\\ 0, &x\lt0 \end{cases}F(x)={1−e−λx,0,x≥0x<0，其中λ>0\lambda\gt0λ>0为参数，这分布称为指数分布，简记为Exp(λ)Exp(\lambda)Exp(λ)。常用它来作各种“寿命”分布的近似，例如电子元件的寿命，某些动物的寿命，电话问题中的通话时间等。
另外，与几何分布类似，p{ξ≥s+t∣ξ≥s}=P{ξ≥t}p\{\xi\ge s+t|\xi\ge s\}=P\{\xi\ge t\}p{ξ≥s+t∣ξ≥s}=P{ξ≥t}。

概率论复习笔记二——离散型分布和连续型分布相关推荐

随机变量的概率，离散型随机变量及其分布，连续型随机变量及其分布、分布函数，离散型的分布函数，连续型的分布函数
随机变量的概率,离散型随机变量及其分布,连续型随机变量及其分布.分布函数,离散型的分布函数,连续型的分布函数一.随机变量的概念二.离散型随机变量及其概率分布三.连续型随机变量及其概率密度函数概 ...
c++语言自定义操作符,C++语言复习笔记二
C++语言复习笔记二零.OOP 特征:抽象-封装-继承-多态一.自定义数据类型 1.类 class 类名 { private: 私有成员(本类) public: 公共成员(所有) protecte ...
matlab连续型随机变量,matlab连续型随机变量的分布.doc
matlab连续型随机变量的分布.doc 连续型随机变量的分布及其数字特征一.基本概念设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负函数f(x),使对任意实数x,有≤X{Pxd}则称X为连续型随 ...
概率论复习笔记——卷积公式
概统笔记--多维随机变量及其分布.卷积公式二维随机变量边缘概率密度条件分布相互独立的随机变量两个随机变量的函数的分布.卷积公式 (一)Z=X+Y的分布 (二)Z=X/Y的分布.Z=XY的分布 ...
概率论与数理统计学习笔记——第十九讲——二元连续型随机变量，联合概率密度函数
1. 联合概率密度函数 2. 概率密度的性质 3. 二元连续型随机变量概率分布函数求解示例
二值化_处理连续型特征：二值化与分段
preprocessing.Binarizer 根据阈值将数据二值化(将特征值设置为0或1),用于处理连续型变量.大于阈值的值映射为1,而小于或等于阈值的值映射为0.默认阈值为0时,特征中所有的正值都 ...
【论文笔记】基于强化学习的连续型机械臂自适应跟踪控制
文章目录摘要关键词 0 引言 1 空间连续型机器人动力学模型 1.1 场景假设 (1) 环境假设 (2) 模型假设 1.2 公式分析 2 空间连续型机器人滑模控制器 3 基于强化学习的滑模控制器 ...
统计学离散型变量和连续型变量有什么区别？
离散变量是指其数值只能用自然数或整数单位计算的则为离散变量.例如,企业个数,职工人数,设备台数等,只能按计量单位数计数,这种变量的数值一般用计数方法取得. 反之,在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变 ...
matlab连续型随机变量,一维连续型随机变量及其概率密度[精选].ppt
一维连续型随机变量及其概率密度[精选] 第2.3节一维连续型随机变量及其概率密度一.概率密度的概念与性质二.常见连续型随机变量的分布三.小结 Gauss 证明解例7 证毕一.连续型随机 ...

概率论复习笔记二——离散型分布和连续型分布