信号分解、傅里叶变换与信号谱

在【信号与系统|吴大正】4：信号分解、傅里叶变换与信号谱(上)中我们着重讨论了信号的分解，以及从傅里叶级数引出傅里叶变换的定义及相关性质；

在这篇文章中，我们开始讨论信号的不同频谱及其特点，以及将傅里叶引入到信号与系统的分析过程中

信号谱与谱估计

能量谱

1. 信号能量的定义

2. 帕斯瓦尔方程

3. 能量密度谱

能量有限信号的自相关函数和其能量密度谱是一对傅里叶变换

功率谱

1. 信号的功率、功率谱与功率密度谱

2. 自相关函数与功率密度谱

功率有限信号的自相关函数和其功率谱构成傅里叶变换对

白噪声功率谱密度的估计

白噪声属于随机信号，是一种没有确定的频谱，但是有相关统计量的一种信号，因此不能直接用频谱图对白噪声信号进行表示。
根据前文讨论过的信号功率谱与能量谱，我们也可以利用白噪声信号的自相关函数以及傅里叶变换，求出其功率谱密度，借助功率谱来描述其频域特性。

傅里叶变换与系统分析

周期信号与傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶级数与傅里叶变换

1. 周期信号的傅里叶变换

按照我们目前所讨论的知识点，对于周期信号我们可以用傅里叶级数进行展开，对于非周期信号我们可以用傅里叶变换进行求解；
于是我们开始思考是否可以对周期信号也进行傅里叶变换的作用，这样就可以让傅里叶变换在周期/非周期信号领域进行统一。

故：我们的核心就是要在傅里叶级数与傅里叶变换之间寻找关系，已知傅里叶级数是若干三角函数项(或虚指数项)的总和，所以我们先来探究三角函数（虚指数函数）的傅里叶变换结果。

2. 方法论——求解周期信号的傅里叶变换

展开成傅里叶级数，得到傅里叶系数，利用公式结论
将周期信号分解成基本信号与冲激序列信号的卷积，利用傅里叶变换的卷积定理

3. 傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系

信号、系统与响应

基本信号作用于LTI系统的响应

一般信号作用于LTI系统的响应

1. 基本信号作用于LTI系统的响应

基本信号是虚指数信号e^jwt
所求响应为零状态响应，也即全响应

在频域分析中，基本信号的定义域设置为(-∞，+∞)，而t=-∞的时候总可以认为系统的状态为0，所以这里求解的全响应也就是零状态响应。

y(t) = H(jω)·e^jωt

2. 一般信号作用于LTI系统的响应

要对一般信号进行分解，然后找到其和基本信号的关系，在找到它们响应之间的关系式。

推导过程

利用了傅里叶变换的定义式，以及LTI系统零状态响应的齐次性和可加性；
①明确基本信号响应的特点——基本信号的响应依然是基本信号，只不过进行了线性的缩放
②任意信号的分解实际上就是傅里叶级数的分解，将任意信号展开成基本信号的线性组合

结论

LTI系统零状态响应的求解式子y(t) = f(t)*h(t)是一直成立的；
只不过在频域分析中，信号要通过傅里叶变换得到频域表现形式，而根据时域和频域的转换规则，卷积运算也相应变成乘积运算，得到Y(jω)=F(jω)·H(jω)

傅里叶分析法

傅里叶变换分析法

傅里叶级数分析法

1. 傅里叶变换分析法

由上图所示，因为从时域转换成频域，使得卷积运算变成乘法运算缩减了卷积运算的计算量，但同时也增加了信号之间进行傅里叶正反变换的次数。

2. 傅里叶级数分析法

傅里叶变换分析和傅里叶级数都是在进行系统分析时的可选选择，两者并不矛盾。
傅里叶变换分析对周期/非周期均可使用；傅里叶级数分析只能对周期信号使用。

（1）复指数级数的分析

推导
方法论

（2）三角级数的分析
可以利用欧拉公式将三角级数转换成复指数形式，利用上式的结论
也可以直接对三角函数的响应结构进行讨论，以下仅给出结论

3. LTI系统频域分析示例

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