配郑君里《信号与系统》第三版 3.3

文章目录

0. 傅里叶级数展开公式

1. 周期矩形脉冲信号

1.1. 抽样函数形式

1.2. 奇偶性分析以及对称方波

2. 周期锯齿脉冲信号

3. 周期三角脉冲信号

4. 周期半波余弦信号

5. 周期全波余弦信号

0. 傅里叶级数展开公式

其他有关傅里叶级数的总结可见博文
f ( t ) = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n ω 1 t ) + b n sin ⁡ ( n ω 1 t ) ] f(t)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)\right] f(t)=21a0+n=1∑∞[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]

a 0 a_0 a0前的系数只是为了保持与其他 a i a_i ai表达式的一致

其中，
a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t , n = 0 , 1 , 2 ⋯ b n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) sin ⁡ ( n ω 1 t ) d t , n = 1 , 2 , 3 ⋯ a_n=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt, \ \ \ n=0, 1, 2\cdots \\ b_n=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt, \ \ \ n=1, 2, 3\cdots an=T12∫−2T12T1f(t)cos(nω1t)dt, n=0,1,2⋯bn=T12∫−2T12T1f(t)sin(nω1t)dt, n=1,2,3⋯

关于为什么 a 0 a_0 a0是 1 T 1 \frac{1}{T_1} T11，而 a n a_n an是 2 T 1 \frac{2}{T_1} T12。思考最初的推导过程，我们是将正交函数系和原函数相乘，得到一系列的关于系数的积分等式， a 0 a_0 a0对应直流部分，常数直接积分，区间长度为 T 1 T_1 T1，因而除过去就是 1 T 1 \frac{1}{T_1} T11，而相应 a n a_n an积分，由正交性，最终留下的是相应三角值的平方，由半角公式，给出一个 1 2 \frac{1}{2} 21的常数，所以积分得到 T 1 2 \frac{T_1}{2} 2T1，除过去得到 2 T 1 \frac{2}{T_1} T12。

1. 周期矩形脉冲信号

偶函数，仅需推导 a n a_n an项。

1 2 a 0 = 1 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) d t = 1 T 1 ∫ − τ 2 τ 2 E d t = E τ T 1 \frac{1}{2}a_0=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\,\mathrm dt=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}E\,\mathrm dt=\frac{E\tau}{T_1} 21a0=T11∫−2T12T1f(t)dt=T11∫−2τ2τEdt=T1Eτ
a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t = 2 T 1 ∫ − τ 2 τ 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t = 2 E n ω 1 T 1 ⋅ 2 sin ⁡ ( n ω 1 t ) ∣ 0 τ 2 = 4 E n ω 1 T 1 sin ⁡ ( n ω 1 τ 2 ) \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^\frac{T_1}{2}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{\tau}{2}}^\frac{\tau}{2}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{n\omega_1T_1}\cdot 2\sin(n\omega_1t)\bigg|_0^{\frac{\tau}{2}}=\frac{4E}{n\omega_1T_1}\sin\left(n\omega_1\frac{\tau}{2}\right) \end{aligned} an=T12∫−2T12T1f(t)cos(nω1t)dt=T12∫−2τ2τf(t)cos(nω1t)dt=nω1T12E⋅2sin(nω1t)∣∣∣∣02τ=nω1T14Esin(nω12τ)
随后，灵活运用 ω 1 T 1 = 2 π \omega_1T_1=2\pi ω1T1=2π，得到：
a n = 2 E n π sin ⁡ ( n π τ T 1 ) a_n=\frac{2E}{n\pi}\sin\left(n\pi\frac{\tau}{T_1}\right) an=nπ2Esin(nπT1τ)
上面这个式子可以生动地反映出频谱特性，即振幅呈调和收缩，整体为表现出振荡。

1.1. 抽样函数形式

利用抽样函数，进行改写：
a n = 2 E n π n π τ T 1 S a ( n π τ T 1 ) = 2 E τ T 1 S a ( n π τ T 1 ) a_n=\frac{2E}{n\pi}\frac{n\pi\tau}{T_1}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right)=\frac{2E\tau}{T_1}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right) an=nπ2ET1nπτSa(T1nπτ)=T12EτSa(T1nπτ)
还可以转化成用 ω 1 \omega_1 ω1表示的形式：
a n = E τ ω 1 π S a ( n ω 1 τ 2 ) a_n=\frac{E\tau\omega_1}{\pi}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_1\tau}{2}\right) an=πEτω1Sa(2nω1τ)
这是一个系数非1的抽样函数，在此基础上，我们对周期脉冲的赋值特性有了更加深刻的了解，即存在一个明显的收敛趋势，通信时我们只需考虑在频带内部的部分即可。

1.2. 奇偶性分析以及对称方波

最终的展开式为：
f ( t ) = E τ T 1 + 2 E τ T 1 ∑ n = 1 ∞ S a ( n π τ T 1 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{E\tau}{T_1}+\frac{2E\tau}{T_1}\sum_{n=1}^\infty\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right)\cos\left(n\omega_1t\right) f(t)=T1Eτ+T12Eτn=1∑∞Sa(T1nπτ)cos(nω1t)
这其中常数是一个偶函数才可能有的成分。分析第二部分，为一个对称脉冲。

如果我们将脉冲宽度调整为 T 1 2 \frac{T_1}{2} 2T1，那么最终就会构成一个对称方波。

亦即
f ( t ) = 2 E π ∑ n = 1 ∞ 1 n sin ⁡ ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\left(n\omega_1t\right) f(t)=π2En=1∑∞n1sin(2nπ)cos(nω1t)

2. 周期锯齿脉冲信号

这是一个奇函数，因而展开为
f ( t ) = b n sin ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=b_n\sin(n\omega_1t) f(t)=bnsin(nω1t)
其中
b n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 E T 1 t sin ⁡ ( n ω 1 t ) d t = 2 E T 1 2 ∫ − T 1 2 T 1 2 t d [ cos ⁡ ( n ω 1 t ) ] = 2 E T 1 2 ( − 1 n ω 1 ) [ 2 T 1 2 ( − 1 ) n − ∫ − T 1 2 T 1 2 cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t ] = 2 E T 1 2 ( − 1 n ω 1 ) [ T 1 ( − 1 ) n − 0 ] = 2 E T 1 n ω 1 ( − 1 ) ( n + 1 ) = E n π ( − 1 ) n + 1 \begin{aligned} b_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\frac{E}{T_1}t\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt=\frac{2E}{T_1^2}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}t\,\mathrm d\left[\cos(n\omega_1t)\right]\\ &=\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n\omega_1}\right)\left[2\frac{T_1}{2}(-1)^n-\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\right]\\ &=\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n\omega_1}\right)\left[T_1(-1)^n-0\right]\\ &=\frac{2E}{T_1n\omega_1}(-1)^{(n+1)}=\frac{E}{n\pi}(-1)^{n+1} \end{aligned} bn=T12∫−2T12T1T1Etsin(nω1t)dt=T122E∫−2T12T1td[cos(nω1t)]=T122E(nω1−1)[22T1(−1)n−∫−2T12T1cos(nω1t)dt]=T122E(nω1−1)[T1(−1)n−0]=T1nω12E(−1)(n+1)=nπE(−1)n+1
最终的展开式为：
f ( t ) = E π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n sin ⁡ ( n ω 1 t ) = E π [ sin ⁡ ( ω 1 t ) − 1 2 sin ⁡ ( 2 ω 1 t ) + 1 3 sin ⁡ ( 3 ω 1 t ) − 1 4 sin ⁡ ( 4 ω 1 t ) ⋯ ] \begin{aligned} f(t)&=\frac{E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\sin(n\omega_1t)\\ &=\frac{E}{\pi}\left[\sin(\omega_1t)-\frac{1}{2}\sin(2\omega_1t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega_1t)-\frac{1}{4}\sin(4\omega_1t)\cdots\right] \end{aligned} f(t)=πEn=1∑∞(−1)n+1n1sin(nω1t)=πE[sin(ω1t)−21sin(2ω1t)+31sin(3ω1t)−41sin(4ω1t)⋯]

3. 周期三角脉冲信号

这是一个偶函数，所以我们只需展成如下形式：
f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n sin ⁡ ( n ω 1 t ) d t f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt f(t)=a0+n=1∑∞ansin(nω1t)dt
其中 a 0 a_0 a0为一个周期上的积分，易得 a 0 = E 2 a_0=\frac{E}{2} a0=2E

将三角脉冲分解成一个直流信号和一个倒绝对值信号的加和，绝对值信号是偶对称信号，于是积分过程中可以有：
a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t = 2 T 1 [ ∫ − T 1 2 T 1 2 E + 2 E T 1 ( ∫ − T 1 2 0 − ∫ 0 T 1 2 ) t ] cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t = 2 T 1 ( 0 − 4 E T 1 ∫ 0 T 1 2 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t = − 2 T 1 4 E T 1 1 n ω 1 [ t sin ⁡ ( n ω 1 t ) ∣ 0 π 2 − ∫ 0 T 1 2 sin ⁡ ( n ω 1 t ) d t ] = − 8 E n ω 1 T 1 2 [ 0 − 2 n ω 1 ] = 16 n ω 1 2 T 1 2 = 16 n ( 2 π ) 2 = 4 n π 2 \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\left[\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}E+\frac{2E}{T_1}\left(\int_{-\frac{T_1}{2}}^{0}-\int_{0}^\frac{T_1}{2}\right)t\right]\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\left(0-\frac{4E}{T_1}\int_{0}^{\frac{T_1}{2}}t\right)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=-\frac{2}{T_1}\frac{4E}{T_1}\frac{1}{n\omega_1}\left[t\sin(n\omega_1t)\Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^\frac{T_1}{2}\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt\right]\\ &=-\frac{8E}{n\omega_1T_1^2}\left[0-\frac{2}{n\omega_1}\right]\\ &=\frac{16}{n\omega_1^2T_1^2}=\frac{16}{n(2\pi)^2}=\frac{4}{n\pi^2} \end{aligned} an=T12∫−2T12T1f(t)cos(nω1t)dt=T12[∫−2T12T1E+T12E(∫−2T10−∫02T1)t]cos(nω1t)dt=T12(0−T14E∫02T1t)cos(nω1t)dt=−T12T14Enω11⎣⎡tsin(nω1t)∣∣∣∣∣02π−∫02T1sin(nω1t)dt⎦⎤=−nω1T128E[0−nω12]=nω12T1216=n(2π)216=nπ24
最终展开式为：
f ( t ) = E 2 + 4 E π 2 [ cos ⁡ ( ω 1 t ) + 1 3 2 cos ⁡ ( 3 ω 1 t ) + 1 5 2 cos ⁡ ( 5 ω 1 t ) + ⋯ ] = E 2 + 4 E π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 sin ⁡ 2 ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) \begin{aligned} f(t)&=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^2}\left[\cos(\omega_1t)+\frac{1}{3^2}\cos(3\omega_1t)+\frac{1}{5^2}\cos(5\omega_1t)+\cdots\right]\\ &=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\sin^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) \end{aligned} f(t)=2E+π24E[cos(ω1t)+321cos(3ω1t)+521cos(5ω1t)+⋯]=2E+π24En=1∑∞n21sin2(2nπ)cos(nω1t)

4. 周期半波余弦信号

直接写 a n a_n an的推导过程：
1 2 a 0 = 1 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) d t = 1 T 1 ∫ − T 1 4 T 1 4 E cos ⁡ ( ω 1 t ) d t = 1 ω 1 T 1 2 E = E π \frac{1}{2}a_0=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\,\mathrm dt=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos(\omega_1t)\,\mathrm dt=\frac{1}{\omega_1T_1}2E=\frac{E}{\pi} 21a0=T11∫−2T12T1f(t)dt=T11∫−4T14T1Ecos(ω1t)dt=ω1T112E=πE
a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t = 2 T 1 ∫ − T 1 4 T 1 4 E cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t = 2 E T 1 ∫ 0 T 1 4 cos ⁡ [ ( n + 1 ) ω 1 t ] + cos ⁡ [ ( n − 1 ) ω 1 t ] d t = 2 E ω 1 T 1 [ sin ⁡ ( n + 1 ) π 2 n + 1 + sin ⁡ ( n − 1 ) π 2 n − 1 ] = E π [ cos ⁡ n π 2 n + 1 − cos ⁡ n π 2 n − 1 ] = E cos ⁡ n π 2 π ⋅ 1 n 2 − 1 ⋅ ( − 2 ) = − 2 E cos ⁡ n π 2 π 1 n 2 − 1 \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{T_1}\int_{0}^{\frac{T_1}{4}}\cos\left[(n+1)\omega_1t\right]+\cos[(n-1)\omega_1t]\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{\omega_1T_1}\left[\frac{\sin\frac{(n+1)\pi}{2}}{n+1}+\frac{\sin\frac{(n-1)\pi}{2}}{n-1}\right]\\ &=\frac{E}{\pi}\left[\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n+1}-\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n-1}\right]\\ &=\frac{E\cos\frac{n\pi}{2}}{\pi}\cdot\frac{1}{n^2-1}\cdot\left(-2\right)=-\frac{2E\cos\frac{n\pi}{2}}{\pi}\frac{1}{n^2-1} \end{aligned} an=T12∫−2T12T1f(t)cos(nω1t)dt=T12∫−4T14T1Ecos(ω1t)cos(nω1t)dt=T12E∫04T1cos[(n+1)ω1t]+cos[(n−1)ω1t]dt=ω1T12E[n+1sin2(n+1)π+n−1sin2(n−1)π]=πE[n+1cos2nπ−n−1cos2nπ]=πEcos2nπ⋅n2−11⋅(−2)=−π2Ecos2nπn2−11
展开为：
f ( t ) = E π − 2 E π ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − 1 cos ⁡ ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{E}{\pi}-\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2-1}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) f(t)=πE−π2En=1∑∞n2−11cos(2nπ)cos(nω1t)

5. 周期全波余弦信号

由于这个函数也是偶函数，分析方法与半波余弦信号比较类似，我们尽量利用先前得到的结果。

首先，一个周期内的半个空缺被补上，首项变为原来的两倍，成为半波推导中的 a 0 a_0 a0，即 2 E π \frac{2E}{\pi} π2E。
由于是偶函数，所以我们可以利用偶函数性质，将其系数 A n A_n An表示成
A n = 2 T 1 ∫ − T 1 4 T 1 4 E cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t + 2 ⋅ 2 T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 E ( − cos ⁡ ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t = a n − 4 E T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t \begin{aligned} A_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^\frac{T_1}{4}E\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt+2\cdot\frac{2}{T_1}\int_{\frac{T_1}{4}}^\frac{T_1}{2}E(-\cos\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=a_n-\frac{4E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt \end{aligned} An=T12∫−4T14T1Ecos(ω1t)cos(nω1t)dt+2⋅T12∫4T12T1E(−cosω1t)cos(nω1t)dt=an−T14E∫4T12T1cos(ω1t)cos(nω1t)dt
我们计算
I n = 4 E T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) d t = 2 E T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 cos ⁡ [ ( n + 1 ) ω 1 t ] + cos ⁡ ( ( n − 1 ) ω 1 t ) d t = 2 E ω 1 T 1 ( sin ⁡ ( n + 1 ) π − sin ⁡ n + 1 2 π n + 1 + sin ⁡ ( n − 1 ) π − sin ⁡ n − 1 2 π n − 1 ) d t = E π ( 0 − cos ⁡ n π 2 n + 1 + 0 + cos ⁡ n π 2 n − 1 ) d t = E π cos ⁡ n π 2 ( 1 n − 1 − 1 n + 1 ) d t = − 2 E π cos ⁡ ( n π 2 ) 1 n 2 − 1 \begin{aligned} I_n&=\frac{4E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos[(n+1)\omega_1t]+\cos((n-1)\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{\omega_1T_1}\left(\frac{\sin(n+1)\pi-\sin\frac{n+1}{2}\pi}{n+1}+\frac{\sin(n-1)\pi-\sin\frac{n-1}{2}\pi}{n-1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{E}{\pi}\left(\frac{0-\cos\frac{n\pi}{2}}{n+1}+\frac{0+\cos\frac{n\pi}{2}}{n-1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{E}{\pi}\cos\frac{n\pi}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{-2E}{\pi}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\frac{1}{n^2-1} \end{aligned} In=T14E∫4T12T1cos(ω1t)cos(nω1t)dt=T12E∫4T12T1cos[(n+1)ω1t]+cos((n−1)ω1t)dt=ω1T12E(n+1sin(n+1)π−sin2n+1π+n−1sin(n−1)π−sin2n−1π)dt=πE(n+10−cos2nπ+n−10+cos2nπ)dt=πEcos2nπ(n−11−n+11)dt=π−2Ecos(2nπ)n2−11

于是我们发现了一个问题：周期全波余弦信号的傅里叶展开是周期半波余弦的直接加倍。

将4.中得到的结果加倍，得到：
f ( t ) = 2 E π − 4 E π ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − 1 cos ⁡ ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{2E}{\pi}-\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2-1}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) f(t)=π2E−π4En=1∑∞n2−11cos(2nπ)cos(nω1t)
由于 n n n为奇数时，系数为0，所以我们取 n = 2 n n=2n n=2n，对系数表达式进行变形：
f ( t ) = 2 E π + 4 E π ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2 − 1 ( − 1 ) n + 1 cos ⁡ ( 2 n ω 1 t ) f(t)=\frac{2E}{\pi}+\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^2-1}(-1)^{n+1}\cos(2n\omega_1t) f(t)=π2E+π4En=1∑∞4n2−11(−1)n+1cos(2nω1t)

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