前言：

在第本系列第六篇中，我们讲解了一下相对来讲最普通的不定积分和定积分的问题，相信大家对积分已经有了大概的了解了，可是仍有一些小问题，比如如何计算多个变量的积分，比如二重积分、甚至三重三重积分呢？本讲中，我将做详细讲解。

本期内容

首先复习一下一元的定积分、然后讲解二重积分，如果可能，讲解三重积分。

复习定积分（单变量）

在之前，先复习一下之前学习的内容。使用matlab求解定积分的步骤大概如下：

定义符号变量（syms关键字）
定义内联函数（inline函数）
使用matlab内置函数进行计算定积分或者不定积分（使用int函数，具体求解定积分还是不定积分，根据参数的数量决定）

我们都知道：定积分是求解一个图形与坐标轴围成的面积。而今天我们需要深入理解一下：定积分是求解两条曲线之间围成的面积，如果只有一个公式，比如x，我们可以理解成 x-0，y=x 这个函数减去了 y=0这个常数函数，或者说，上面函数与x轴围成的面积减去了下面函数与x轴围成的面积（并且这个面积在x轴上方是正的，下方是负的），这样我们就可以推广，假设我们现在有两条曲线，一个是sinx，一个是 $e^x$ ,我们求在0-pi的范围内，两个图形围成的面积，容易知道，两个图形大概是这样围起来的：

PS: 上图的代码和讲解如下

%% 目标图像
clc;clear all;  % 清除原先的东西x = 0:0.01:pi;  % x的范围是0-pi，以0.01为一个小分割点细分出一个范围
y1 = sin(x);    % sinx
y2 = exp(x);    % e^xfigure;         % 弄一个figure的框体
hold on;        % 保持这个窗体，保证后面的内容都画在了上面，hold off解除subplot(221);   % 开辟子窗体，221:共2行2列，里面的第一个
fill(x,y1,'r'); % 画图并填充颜色，变量是x，函数是y1，颜色是r，红色
title('y=sinx');% 设置标题，必需先fill，才能添加标题，否则会失败subplot(222);   % 开辟子窗体，222，共2行2列，里面第二个
fill(x,y2,'b'); % b 蓝色
title('y=e^x');subplot(223);   % 开辟子窗体，223，共2行2列，里面第三个
fill([x, fliplr(x)],[y1,fliplr(y2)],'g');% 两个函数直接填充颜色，每一个方括号代表一个函数的内容
title('两个函数中间的部分');
hold off;

OK，那么我们就可以很容易的使用int()函数算出这样一个定积分，代码如下：

%% 对上面的函数进行计算定积分
syms x;
f = 'exp(x) - sin(x)';
res_int = int(f, x, 0, pi);
disp(res_int);

上面左边是我手算结果，右边是matlab计算结果，可见我算的还是很准的哈哈哈哈哈哈哈。

二重积分

上面复习了定积分的计算和一般概念，下面我们看二重积分，先了解下二重积分是什么吧：

二重积分的一个概念是求体积（还有其他的，比如薄片质量等，在这里先不谈，先说体积的问题），那么明确概念其实就不难了，定积分求面积、二重积分求体积，那么这个体积是哪里的体积呢？

如图，粉红色的是z=f(x,y)的函数图像，下面是地面的阴影部分，红色的是边界，这个体积就是粉色的顶部与底面阴影之间的一个曲顶柱体的体积，那这个体积怎么求呢？

在定积分中，我们把整个面积分成了无数个小面积，计算后累加，同样的，在二重积分中，我们也采取同样的方法，我们把这个柱体切成一个一个的小柱体，就像图中的那个黄色柱体一样，假设我们把整个底面分成了无数份，每一份的底面积都无限接近于0，假设这个底面积是d $\sigma$ ，那么这个地方的高就是f(x,y)，所以这个小柱体的体积就是 f(x,y)d $\sigma$ ，我们只需要将这些小体积全部加起来，就能得到整个曲顶柱体的体积公式了：

$dV = f(x, y)d\sigma => V = \iint f(x,y)d\sigma => V = \int_{a}^{b}dx\int_{\varphi(x1)}^{\varphi(x2)} f(x,y)dy <=> V = \int_{c}^{d}dy\int_{\varphi(y1)}^{\varphi(y2)} f(x,y)dx$

并且我们很容易发现，积分的区间其实就是底面，被积函数是曲面的公式。公式中各个符号在下图中体现：

现在，计算一个例子给大家看，假设底面如图所示（灰色阴影部分）：

先积分x(Y型)时区域可表示为：Dx = {(x,y)|0<=y<=1, y<=x<=1}。

先积分y(X型)时区域可表示为：Dy = {(x,y)|0<=y<=x, 0<=x<=1}。

下面我们以X型为例，使用matlab计算曲面为 f(x,y) = xcos(y)的曲顶柱体的体积：

详细的代码以及注释见下方：

%% 计算二重积分
clear all;
f = @(x,y)x.*cos(y); % 定义一个函数句柄，两个变量分别是x,y
% 这样定义函数句柄时，需要在所有的运算前加一个.（表示对应元素各自计算，不按照矩阵的规则）
ymax = @(x) x;  % 根据0<=y<=x处，右方的y=x反解出y，
res = integral2(f,0,1,0,ymax);
% 计算二重积分的函数
% integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)
disp(res);

最后，让我们欣赏一下这个曲面的形状吧：

代码如下：

%% 看一看这个曲面吧
[x,y] = meshgrid(0:0.001:1, 0:0.001:1);
% 设置x和y的区间，以及细分程度
z = (x.*cos(y));  % 使用一个z来代表这个函数
mesh(x,y,z)  % 画出二维曲面图像
title('x*cos(y)')

那么，今天就先到这里吧，三重积分留到下次在讲解，谢谢观看！

今日小结

今天我们学到了如下的知识：

复习了之前学习的定积分、不定积分的内容
学习了二重积分的概念，以及应用的大概场景：求曲顶柱体体积，平面薄片质量（底面换位薄片，被积函数即薄片面密度的函数）等。
学会了如何在一个figure里面绘制多个图像
学会了如何在matlab中绘制图像、对目标区域填充颜色并命名标题
学会了怎么使用matlab的integral2计算二重积分
学会了怎么在matlab中声明（定义）一个函数句柄，或者说创建一个多元函数，以及怎么反解一个函数中某个变量（y = @(x) x ，此处函数是y=x），其实说白了，反解函数就是定义函数句柄。
学会了怎么在matlab中绘制二维曲面的图像。

大家下期再见！！

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