欧几里得及扩展欧几里得算法

　　欧几里得算法 这个就是常说的辗转相除法，用于计算两个整数 $a,b$ 的最大公约数，即$$gcd(a,b)=gcd(b,a\;mod\;b)$$

int gcd(int a,int b){return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

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　　扩展欧几里德算法 是用来在已知 $a,b$ 求一组整数解 $x,y$ 使它们满足等式$$ax+by=gcd(a, b)$$

　　（解一定存在根据数论中的相关定理具体怎么证明我也不清楚）

　　那么问题来了如何求出一组 $x,y$

　　证明如下（重点）：

　　设 $a>b$

　　显然当 $b=0$ , $gcd(a,b)=a$ 时，$x=1$ , $y=0$ ；

　　当 $a>b>0$ 时，设$$ax_1+by_1= gcd(a,b)$$$$bx_2+(a\;mod\;b)y_2=gcd(b,a\;mod\;b)$$

　　根据朴素的欧几里得算法，可得$$ax_1+by_1=bx_2+(a\;mod\;b)y_2$$$$ax_1+by_1=bx_2+(a- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b)y_2$$$$ax_1+by_1=ay_2+b(x_2- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2)$$

　　根据恒等定理得$$x_1=y_2$$$$y_1=x_2- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2$$

　　这样我们就得到了求解 $x_1,y_1$ 的方法：$x_1,y_1$ 的值基于 $x_2,y_2$

　　上面的思想是以递归定义的，因为 $gcd$ 不断的递归求解一定会有个时候 $b=0$ ，所以递归可以结束

int exgcd(int a,int b,int &x1,int &y1){if(!b){x1=1;y1=0;return a;}ans=exgcd(b,a%b,x1,y1);int t=x1;x1=y1;y1=t-a/b*y1;return ans;
}

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　　下面是一些重要的结论

　　结论一 设 $a,b,c$ 为任意整数，若方程 $ax+by=c$ 的一组整数解为 $(x_0,y_0)$ ，则他们的任意整数解都可以写成 $(x_0+kb',y_0-ka')$ ，其中 $a'=\frac{a}{gcd(a,b)}$ , $b'=\frac{b}{gcd(a,b)}$ , $k \in Z$

　　结论二 设 $a,b,c$ 为任意整数，$g=gcd(a,b)$ ，方程 $ax+by=g$ 的一组整数解为 $(x_0,y_0)$ ，则当 $c$ 是 $g$ 的倍数时，$ax+by=c$ 的一组整数解是 $(x_0 \frac{c}{g},y_0 \frac{c}{g})$ ；当 $c$ 不是 $g$ 的倍数时，无整数解

　　然后洛谷上有道关于扩展欧几里得很经典的题青蛙的约会下面是AC代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long longll x,y,m,n,l;
ll ans,x1,y1;ll exgcd(ll a,ll b,ll &x1,ll &y1){if(!b){x1=1;y1=0;return a;}ans=exgcd(b,a%b,x1,y1);ll t=x1;x1=y1;y1=t-a/b*y1;return ans;
}int main(){scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);ll a=n-m,c=x-y;if(a<0){a=-a;c=-c;}exgcd(a,l,x1,y1);if(c%ans) printf("Impossible");else printf("%lld",((x1*(c/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans));//处理负数的神奇方法 return 0;
}

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