欧几里得扩展欧几里得算法及相关的数学证明

//欧几里得算法求最大公约数
int gcd(int m,int n)
{int u0=m,u1=n,t;if( u0<u1 )// 保证u0>=u1u0^=u1,u1^=u0,u0^=u1;while(u0%u1){t=u1;u1=u0%u1;u0=t;}return u1;
}
//递归版本
int gcd(int m, int n)
{return n==0?m:gcd(n,m%n);
}
//扩展欧几里得算法求ax+by==gcd(a,b)的解，其中g是最大公约数，此算法根据结论gcd(a,b)是a和b的最小的正线性组合得出（特殊情况，当gcd(a,b)为1时候，解x为a的逆元）
void gcdex(int m,int n, int& g,int & x,int& y)
{if(n==0)        {//gcd(m,0)=1*m-0*0=mg=m; x=1; y=0;}else            {gcdex(n,m%n,g,y,x);     y-=x*(m/n);}
}
//求最小公倍数
//求n个数最小公倍数，(除去所有的公约数，就成了最小公倍)
int lcm(int val[],int n)
{int res=1;for (int i = 0;i < n;i ++)for (int j = i + 1;j <= n;j++)if (val[j] % val[i] == 0)val[j] /= val[i];for(int j=0; j<n; j++)res*=val[j];return res;
}

//以下介绍来自网络

RSA算法中利用欧几里得算法求d详细过程

RSA是第一个也是使用的最广泛的公钥加密算法，在1978年由R.Rivest、AdiShamir和Adleman三人发明，并以他们的名字命名。RSA算法的安全性基于大数因子分解的困难性，下面介绍一下它的基本原理：

1、生成公钥和私钥

（1）选取两个大素数：p和q；
（2）计算n=p*q；
（3）计算小于n并且与n互质的整数的个数，即欧拉函数Ø（n）=（p-1）*（q-1）；
（4）随机选择加密密钥e，使1<e<Ø（n），且与Ø（n）互质；
（5）最后，利用Euclid（欧几里得）算法计算解密密钥d，使其满足ed=1（mod Ø（n））。

然后将（e，n）公开，即为公钥PK，私人保存好d，即为私钥SK；

2、加密

将明文m分解成等长数据块m₁，m₂，……，m_i。加密时，按如下公式进行计算即可：

c_i=（m_i）^e（mod n），密文c则由c₁，c₂，……c_i组成。

3、解密

与加密一样，按如下公式进行计算：

m_i=（c_i）^d（mod n），明文m则由m₁，m₂，……，m_i组成。

以上就是RSA算法的公私钥产生、加密和解密的过程。整个过程中，最难理解的部分应是1.5中的求私钥d，很多课本提到的都是用欧几里得算法，但并未给出具体的计算过程，下面本人就通过一个实例向大家介绍欧几里得算法在RSA中的应用。

例：令p=47，q=71，求用RSA算法加密的公钥和私钥。

计算如下：

（1）n=pq=47*71=3337；
（2）Ø（n）=（p-1）*（q-1）=46*70=3220；
（3）随机选取e=79（满足与3220互质的条件）；
（4）则私钥d应该满足：79*d mod 3220 = 1；

那么这个式子（4）如何解呢？这里就要用到欧几里得算法（又称辗转相除法），解法如下：

（a）式子（4）可以表示成79*d-3220*k=1（其中k为正整数）；
（b）将3220对79取模得到的余数60代替3220，则变为79*d-60*k=1；
（c）同理，将79对60取模得到的余数19代替79，则变为19*d-60*k=1；
（d）同理，将60对19取模得到的余数3代替60，则变为19*d-3*k=1；
（e）同理，将19对3取模得到的余数1代替19，则变为d-3*k=1；

当d的系数最后化为1时，

令k=0，代入（e）式中，得d=1；
将d=1代入（d）式，得k=6；
将k=6代入（c）式，得d=19；
将d=19代入（b）式，得k=25；
将k=25代入（a）式，得d=1019，这个值即我们要求的私钥d的最终值。

此时，我们即可得到公钥PK=（e，n）={79，3337}，私钥SK={1019，3337}，后面的加密和解密直接套相应公式即可。

#include <iostream>//扩展欧几里得算法的特殊情况,求乘法逆元
unsigned inverse(unsigned prime, unsigned mod)
{unsigned res;//记录计算结果if (prime == 1)return prime;else if (prime == 0)return 0;else{res = ( mod>prime ? inverse( prime, mod%prime):inverse(prime%mod, mod) );return ( mod>prime ? ( (mod*res+1)/prime ) : ( (prime*res-1)/mod) );}
}int main()
{printf("%d",inverse(79,3220) );getchar();return 0;
}

//附上网络搜来的扩展欧几里得算法的证明

什么是GCD？
GCD是最大公约数的简称（当然理解为我们伟大的党也未尝不可）。在开头，我们先下几个定义：
①a|b表示a能整除b（a是b的约数）
②a mod b表示a-[a/b]b（[a/b]在Pascal中相当于a div b）
③gcd(a,b)表示a和b的最大公约数
④a和b的线性组合表示ax+by（x,y为整数）。我们有：若d|a且d|b，则d|ax+by（这很重要！）

由这条定理易推知：若d|a且d|b，则d|gcd(a,b)

Euclid算法
现在的问题是如何快速的求gcd(a,b)。穷举明显不是一个好方法（O(n)），所以需要一个更好的方法。
首先我们先提出一个定理：gcd(a,b)=gcd(b,a-bx)（x为正整数）。

证明：
设gcd(a,b)=d,gcd(b,a-bx)=e,则
∵d|a,d|b
∴d|a-bx
∴d|gcd(b,a-bx)，即d|e
∵e|b,e|a-bx
∴e|bx+(a-bx)，即e|a
∴e|gcd(a,b)，即e|d
∴d=e。证毕。

这个定理非常有用，因为它能快速地降低数据规模。
当x=1时，gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。这就是辗转相减法。
当x达到最大时，即x=[a/b]时，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。这个就是Euclid算法。它是不是Euclid提出的我不知道，但听说是在Euclid时代形成的，所以就叫Euclid算法了。程序非常的简单：

functionEuclid(a,b:longint):longint;
begin
if b=0 then exit(a)
else exit(Euclid(b,a mod b));
end;

Euclid算法比辗转相减法好，不仅好在速度快，而且用起来也方便。两种算法都有一个隐含的限制：a>=b。用辗转相减法时，必须先判断大小，而Euclid算法不然。若a<b，则一次递归就会转为gcd(b,a)，接着就能正常运行了。

扩展Euclid
前面我们说过，gcd(a,b)可以表示为a和b的最小的正线性组合。现在我们就要求这个最小的正线性组合ax+by中的x和y。这个可以利用我们的Euclid算法。
从最简单的情况开始。当b=0时，我们取x=1,y=0。当b≠0时呢？
假设gcd(a,b)=d，则gcd(b,a mod b)=d。若我们已经求出了gcd(b,a mod b)的线性组合表示bx'+(a mod b)y'，则
gcd(a,b)=d
        =bx'+(a mod b)y'
        =bx'+(a-[a/b]b)y'
        =ay'+b(x'-[a/b]y')
那么，x=y'，y=x'-[a/b]y'。这样就可以在Euclid的递归过程中求出x和y。

程序：
function gcd(a,b:longint):longint;
var p,n,m:longint;
begin
if b=0 then
   begin
    x:=1;
    y:=0;
    exit(a);
   end
else
   begin
    p:=gcd(b,a mod b);
    n:=x;
    m:=y;
    x:=m;
    y:=n-a div b*m;
    exit(p);
   end;
end;

我们现在还有一个问题：x,y是不是确定的？答案：不是。如果x,y符合要求，那么x+bk,y-ak也符合要求。不确定的原因在于这一句：“当b=0时，我们取x=1,y=0。”实际上y可以取任何正整数。

不定方程ax+by=c
现在终于到了本文重点：解二元一次不定方程。看起来扩展Euclid算法是不定方程的一种特殊情况，实际上呢，不定方程却是用Euclid算法解的。
对于不定方程ax+by=c，设gcd(a,b)=d，如果ax+by=c有解，则d|c（这也是许多奥数题的切入点）。所以一旦d不是c的约数，那么 ax+by=c一定无解。当d|c时，先求出ax'+by'=d=gcd(a,b)的x'和y'，则x=x'*c/d，y=y'*c/d。由上一段可知，只要ax+by=c有一个解，它就有无数个解。
Euclid算法还可以求解同余方程ax≡b(mod m)。这其实和不定方程ax+my=b没有区别。（不定方程和同余方程一般都有范围限制，这其实也很容易解决，就不说了）

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