欧几里得和扩展欧几里得算法

欧几里得算法

又称为辗转相除法，c语言代码如下：

分析：a,b的关系可表示为a=kb+t,

即 a-kb=t, t=a%b,

假设c为a,b的一个公约数，将a-kb=t等式两边同除c，

得 a/c-kb/c=t/c,

因为等式左边为整数，所以t/c为整数，即c是t得约数，

所以c为b，t(a%b)的公约数，即a,b和b,a%b的公约数相同，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

扩展欧几里得算法

c语言代码如下：

if(b)改为if(!b)

分析：有欧几里得算法可知gcd(a,b)=gcd(b,a%b),

对于不完全为0的非负整数，必然存在整数对x,y有gcd(a,b)=ax1+by1,

得gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2=bx2+(a-a/b)y2=ay2+b(x2-(a/b)*y2),

即x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2.

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