poj 1061青蛙的约会

青蛙的约会

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4

题解：
有题目可知，本题会用到数论中线性同余的知识。
根据题意分析，我们可以得到下面的等式：
(x + a m) mod L = (y + b n) mod L
而且a==b，这样上面的等式化简为：|
(x + a m) mod L = (y + a n) mod L
利用线性同余进一步化成如下形式:
a x == b (mod n)
其中 a = (n - m)
b = (x - y)
n = L
现在我们要判断线性同余方程是否有解,当且仅当gcd(a, n)能整除b ,这个线性方程有解。递归写欧几里得算法

1.   int gcd(int a, int b) {
2.      if(b==0) return a;
3.      else   return  gcd(b,a%b);
4.  }

接着考虑有可能出现a或者b为负数的情形，所以需要处理下输入。


1.  int gcd(int a, int b) {
2.      if(b==0) return a;
3.      else   return  gcd(b,a%b);
4.  }
5.  int main(){6.  int x,y,m,n,l;
7.  scanf("%d%d%d%d%d",&x,&y,&m,&n,&l);
8.  a=abs(m-n);//（a = m < n ? n - m : m - n;）
9.  b=abs(x-y);//（b = m < n ? x - y : y - x;  ）
10.b=(l+b)%l
11.if(b%gcd(a,l))
10.   printf("Impossible\n");
11. else
12.      …………
13. }

之后我们或许会想到暴力，但是看一下题目中的要求会发现，根本行不通，题目给的数据很大，是十位数，long long虽然能存下，但是我们暴力求解时，会发现时间根本不够用，因为 2000000000 (mod 2100000000) ，大约要7,8秒；剩下的唯一思路就是快速解线性同余方程了；
我们通过扩展欧几里得算法可以得到ax+by=gcd(a,b)
的线性组合x和y，求出特解x0=x*b/d，d=gcd(a,b)。
其他的解都可以表达为:
x0 + k n / d的形式，其中k为整数。
伪代码如下:

1.function egcd(a, b)
2.if b == 0
3.    return (a, 1, 0)
4. (d', x', y') = egcd(b, a mod b)
5.return (d', y', x' - a / b * y')

还有扩展欧几里得返回的x可能为负，要稍作调整。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll ans,x1,y1;ll exgcd(ll a,ll b,ll &x1, ll &y1)
{if(!b){x1=1;y1=0;return a;}ans=exgcd(b,a%b,x1,y1);ll t=x1;x1=y1;y1=t-a/b*y1;return ans;
}int main()
{ll n,m,x,y,l;cin>>x>>y>>m>>n>>l;ll b=n-m,a=x-y;if(b<0){b=-b;a=-a;}//处理负数 exgcd(b,l,x1,y1);if(a%ans!=0)//判断方程有无解。 cout<<"Impossible";elsecout<<((x1*(a/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans);//处理负数
}

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