可逆矩阵性质总结_伴随矩阵
本节对于伴随矩阵的基本定义和性质进行了总结，是我们在考研中容易忽略的一部分内容，希望大家重视！！！
定义 1. 设
其中
定理 1. m × n 矩阵 A 的秩为 r 的充分与必要条件为：存在 m 阶满秩矩阵 P 与 n 阶满秩矩阵 Q 使得
其中 Er 为 r 阶单位矩阵.
定理2.
若A可逆，由此可得
伴随矩阵的性质：
1.（2017汕头大学）
证明： （1）当
（2) 当 |AB|=0 时,令
上面两边矩阵的元素都是x的多项式，且有无穷多个x的值使得等式成立. 从而等式恒成立.于是当x=0时，即得结论成立.
2.设 A 为 n 阶方阵，则
k 是一个数，特别的,
证明：若 kA可逆，则
若 kA不可逆，令B=kA+tE,则存在无穷多个t的值使得B可逆，从而有
对无穷多个t的值成立，等式两边矩阵对应位置的元素都是关于t的多项式，从而上式恒成立，令t=0可得结论.
证明：若 A 可逆，则
若A不可逆时，令
上式两边矩阵的元素都是t的多项式，且有无穷多个t的值使得等式成立，从而等式恒成立，于是t=0时，即可得结论.
4.（1999 扬州大学）设 A 是 n 阶矩阵
证明: 当 r(A)=n 时,
故
当
又因为此时
故
所以
当
A 的任意 n -1 行皆线性相关，故它的任意 n-1 级子式都为 0, 所以
所以
5.（2004 重庆大学）设 A 为 n 阶矩阵，求证:
证明：若A可逆，则存在关系式
两边同时取行列式，可得
从而可得
若A不可逆，即|A|=0,则存在可逆矩阵P,Q,使得
其中r＜n.
我们注意到：若
无论上述那种情况，我们都有
从而
上式中
仍然成立.
岩宝小提示：本题矩阵A不可逆时，也可以用第三条性质的证明方法，这一点请大家自己尝试.
6.设 A 为 n（n>2）阶矩阵，求证:
证明：若A可逆，则
若A不可逆时，即有|A|=0,则
故
7.n 阶矩阵 A 的伴随矩阵
证明: （1）当 r(A)=n 时,设A的特征多项式为
则
于是
而
从而结论成立.
当 r(A)<n 时，考虑
令k=0即可.
例.已知
求A.
解: 计算
因为
得
若 |A|=2, 由
得
于是
若 |A|=-2, 则
故
岩宝同步思考练习
1.(2018西安电子科技大学)设A为n阶实非零矩阵，且
其中
2.(2012河南师范大学)设
证明：
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