Hidden Markov model (HMM)

一、马尔科夫转移矩阵法的涵义 
单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。

市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。马尔科夫是俄国数学家，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。

马尔科夫分析法的一般步骤为： 
①调查目前的市场占有率情况； 
②调查消费者购买产品时的变动情况； 
③建立数学模型； 
④预测未来市场的占有率。

二、马尔科夫分析模型 
实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。 
马尔科夫分析法的基本模型为： 
X(k+1)=X(k)×P 
公式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移概率矩阵， 
X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。 
必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一般适用于短期的趋势分析与预测。

三、马尔科夫过程的稳定状态 
在较长时间后，马尔科夫过程逐渐处于稳定状态，且与初始状态无关。马尔科夫链达到稳定状态的概率就是稳定状态概率，也称稳定概率。市场趋势分析中，要设法求解得到市场趋势分析对象的稳态概率，并以此做市场趋势分析。 
在马尔科夫分析法的基本模型中，当X：XP时，称X是P的稳定概率，即系统达到稳定状态时的概率向量，也称X是P的固有向量或特征向量，而且它具有唯一性。

四，马尔科夫转移矩阵法的应用 
马尔科夫分析法，是研究随机事件变化趋势的一种方法。市场商品供应的变化也经常受到各种不确定因素的影响而带有随机性，若其具有"无后效性"，则用马尔科夫分析法对其未来发展趋势进行市场趋势分析五，提高市场占有率的策略预测市场占有率是供决策参考的，企业要根据预测结果采取各种措施争取顾客。提高市场占有率一般可采取三种策略： 
(1)设法保持原有顾客； 
(2)尽量争取其他顾客； 
(3)既要保持原有顾客又要争取新的顾客。 
第三种策略是前两种策略的综合运用，其效果比单独使用一种策略要好，但其所需费用较高。如果接近于平稳状态时，一般不必花费竞争费用。所以既要注意市场平稳状态的分析，又要注意市场占有率的长期趋势的分析。 
争取顾客、提高市场占有率的策略和措施一般有： 
①扩大宣传。主要采取广告方式，通过大众媒体向公众宣传商品特征和顾客所能得到的利益，激起消费者的注意和兴趣。 
②扩大销售。除联系现有顾客外，积极地寻找潜在顾客，开拓市场。如向顾客提供必要的服务等。 
③改进包装。便于顾客携带，增加商品种类、规格、花色，便于顾客挑选，激发顾客购买兴趣。 
④开展促销活动。如展销、分期付款等。 
⑤调整经营策略。根据市场变化，针对现有情况调整销售策略，如批量优待、调整价格、市场渗透、提高产品性能、扩大产品用途、降低产品成本等，以保持市场占有率和扩大市场占有率。

马尔科夫分析模型 
实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。 
马尔科夫分析法的基本模型为： 
X(k+1)=X(k)×P 
公式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移矩阵概率， 
X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。 
必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一般适用于短期的趋势分析与预测。

一个隐马尔可夫模型 (HMM) 是一个五元组： 
(ΩX , ΩO, A, B, π ) 
其中： 
ΩX = {q1,...qN}：状态的有限集合 
ΩO = {v1,...,vM}：观察值的有限集合 
A = {aij}，aij = p(Xt+1 = qj |Xt = qi)：转移概率 
B = {bik}，bik = p(Ot = vk | Xt = qi)：输出概率 
π = {πi}， πi = p(X1 = qi)：初始状态分布 
2 解决问题： 
令 λ = {A,B,π} 为给定HMM的参数， 
令 σ = O1,...,OT 为观察值序列， 
隐马尔可夫模型（HMM）的三个基本问题： 
2.1评估问题：对于给定模型，求某个观察值序列的概率p(σ|λ) ； 
2.2解码问题：对于给定模型和观察值序列，求可能性最大的状态序列； 
2.3学习问题：对于给定的一个观察值序列，调整参数λ，使得观察值出现的概率p(σ|λ)最大