bezier曲线_Bezier算法

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bezier算法的背景

vm公司设计出了一个原型车——moon,这样的：

产品经理一看觉得有点抽象，他使用了Bezier算法改进了一下原型车，变成了这样(红线部分)：

Bezier算法在做的事，通过光滑的曲线逼近用户给出的折线段(准确的来说是给出的**控制顶点**，即图中蓝色的点。这些点连线构成的多边形又叫**特征多边形**)

Bezier曲线的定义

Bezier算法围绕着Bezier曲线展开，Bezier曲线的定义为：

其中P(i)为控制顶点，n表示有n+1个控制顶点，

为Bernstein基函数;其中

肯定有人会和笔者一样，疑惑为什么会突然出现一个Bernstein函数，大致的原因是这样：提出算法的Bezier当时给出了一个较为复杂的Bezier曲线函数，在提出若干年后施法中教授[^1]给出了证明过程，可见原式的复杂性；而后Forrest在后来证明出原基函数可以简化成Bernstein基函数。

参数t的重要性

当上式t从0取到1就是对应的Bezier曲线图像。$t$从0选取到1才能绘制出整个图像，不失一般性，当绘制一个二次Bezier曲线时，$n=2$，有三个控制顶点，若每个控制顶点对应的$t=0$，显见必定只能得到一个点，**所以t的选取也至关重要**，举个例子：

1. 三个控制顶点分别为(0,0),(200,100),(400,0);则图像如下:

取t分别为

非常合理

2. 但若三个控制点分别取(0,0),(300,50),(400,0)时，则图像如下：

显然此时仍然取

有些许欠妥

所以t的取值也是重中之重，只有t的值选取的好才能让曲线更加贴合

t的选取

t的选取有这几种方法：均匀参数化、累加弦长参数化，向心参数化法；这里只介绍第一种均匀参数化方法。笔者后面展示的代码也是选用了这种方法。

均匀参数化：节点在参数轴均匀分布，比如：

Bezier生成曲线算法

Bezier生成曲线算法有两种：其中一种就是用上面提到的方法直接生成曲线，不过其中涉及到大量组合数的计算，较为耗时；另外一种算法是de Casteljau递推算法生成曲线,递推式为：

举例：不失一般性，假设绘制二次Bezier曲线，当

时，设有

三个点，在线段

三分之一处画出

；在线段

三分之一处画出

；连接两点

，在线段

三分之一处画出

过程如下：

显见递推式的几何意义为：

下面是具体绘制过程：

一次Bezier曲线:

二次Bezier曲线:

三次Bezier曲线:

代码实现

def draw_curve(p_list):""":param p_list: (list of list of int:[[x0, y0], [x1, y1], ...])point set of presult: (list of list of int:[[x0, y0], [x1, y1], ...])point on curve"""result = []P = []P = p_list.copy()r = len(p_list)for i in range(0, 20923): #2020/09/23t = i/20923x, y = de_Casteljau(r, P, t)result.append((x, y))return resultdef de_Casteljau(n, pointSet_p, t):""":param n: number of control:param pointSet_p: (list of list of int:[[x0, y0], [x1, y1], ...])point set of p:param t: t"""while(n):for i in range(0, n-1):P[i][0] = (1-t)*P[i][0] + t*P[i+1][0]P[i][1] = (1-t)*P[i][1] + t*P[i+1][1]n -= 1P[0][0] = int(P[0][0] + 0.5)P[0][1] = int(P[0][1] + 0.5)return P[0]

[^1]:施法中.Bézier基函数的导出[J].航空学报,1980,第1期：P92-98