Bezier曲线的拼接

2024-06-18 06:41:38

Bezier曲线的拼接

根据前面对Bezier曲线生成算法的介绍，显然随着点的增加，接着会引起 $t$ 的次数提高，而而高次多项式又会带来计算上的困难。

对于上式子，也就是随着n的增加，t的次数也会随着增加。

故实际应用中的Bezier曲线都是三次或者四次的曲线一段一段的拼接而形成的。所以要在接合处保持一定的连续条件。

那么连续条件是：

给定两条Bezier曲线 P(t)和 Q(t)，相应控制点为 $P_{i}$ (i =0,1,...,n)和 $Q_{i}$ (i=0,1,...,m),假设n = 3，m = 0。即

条件一：Pn= Q0，即第一条曲线的最后一个点和第二条曲线的第一个点重合。

条件二：保证Pn-1，Pn=Q，Q1三点共线

Bezier曲线的升阶与降阶

一、 Bezier曲线升阶

讨论如何从 $B_{i,2}$ 转化成 $B_{i,3}$ 的形式,2,3表示点的个数。

原则：保证曲线的形状和定向保持不变，但是要增加顶点个数。

设给定原始控制顶点 $P_{0},P_{1}$ ,.. $P_{n}$ ，定义一条n次Bezier曲线,

增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点后设为 $P_{0}^{*},P_{1}^{*}$ ....... $P_{n+1}^{*}$ ，则有：

由于曲线还是那个曲线，故令二者相等：

以三次为例：

能够看出，随着点数的增加，也就是阶数的增加，控制多边形越来越收敛于这条曲线。

二、Bezier曲线的降阶

降阶是升阶的逆过程，降阶可以表示为：

若二者成立，只有 $a_{3}$ 等于0时等号成立，若不等于0，那只能逼近，找打一个二次曲线尽可能逼近三次曲线。

Bezier曲线曲面升降阶的重要性：

第一它是CAD系统之间数据传递与交换的需要

第二它是系统中分段(片)线性逼近的需要．通过逐次降阶，把曲面化为直线平面，便于求交和曲面绘制

第三它是外形信息压缩的需要。降阶处理以后可以减少存储的信息量

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