开源项目推荐：Bezier曲线、B-Spline和NURBS的区别与《THE NURBS BOOK 2nd》简介，曲线拟合可视化工具

一、基本概念

B-Spline：B样条曲线

NURBS（Non Uniform Rational B-Spline）：非均匀有理B样条曲线

B样条曲线有三种类型：

当起始点和终止点的重复度为最高次数加1是，开B样条变为Clamped B样条，当起始点和终止点重合且重复度为p+1时为闭B样条曲线。如上图的clamped有 n+1个控制点(n=9)以及 p = 3. 。那么，, m 必须是13 所以节点向量有14个节点。为了有clamped效果，前p+1 = 4 和最后4个节点必须一样。其余14 - (4 + 4) = 6 个节点可在定义域任何位置。实际上，曲线是用节点向量 U = { 0, 0, 0, 0, 0.14, 0.28, 0.42, 0.57, 0.71, 0.85, 1, 1, 1, 1 }产生的。

二、详情

在CAD中，设计师需要设计出各种各样的曲线；数学中，曲线是通过各种各样的方程表示的，比如一条通过点A(0,0)、B(1,1)的直线可以表示为：

y=x

或者用参数方程表示：

P(u) = (1-u)A+tB

再比如一个通过原点(1,2)、半径为2的圆可以表示为：

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4

或者用参数方程表示：

x = 2cos(u)+1

y = 2sin(u)+2

上面举例的是两种很简单的曲线，对于更复杂的曲线可以用更复杂的方程来表示（比如用高次多项式）；

如果我们的设计师是一位数学家就好了，他可以根据自己的需要，设计出一个复杂的方程来表示自己想要的一条优美的曲线，但是事与愿违，设计师们往往想通过一种直观的方式来设计曲线，而不是利用方程。

因此，诸位科学家和工程师设计出了Bezier曲线、B-Spline样条曲线和NURBS，下面是一个有四个控制点的Bezier曲线：

可以通过改变一个控制点的位置来改变曲线的形状，比如将上图曲线中左边第二个控制点往上移，就可以得到下面的曲线:

可以看到，这种曲线生成方式比较直观和灵活，我只需要放置控制点，然后调整控制点的位置来得到想要的曲线，这就避免了和复杂的数学方程打交道，岂不快哉？

Bezier曲线、B样条和NURBS都是根据控制点来生成曲线的，那么他们有什么区别了？简单来说，就是:

§ Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；

§ Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；

Bezier曲线只是B样条的一个特例而已，而B样条又是NURBS的一个特例，它们的关系可以图示为：

B样条克服了Bezier曲线的一些缺点，Bezier曲线的每个控制点对整条曲线都有影响，也就是说，改变一个控制点的位置，整条曲线的形状都会发生变化，而B样条中的每个控制点只会影响曲线的一段参数范围，从而实现了局部修改。

三、推荐书籍

1 《The NURBS Book 2nd》英文版

国外讲义NURBS的经典书籍，涉及到NURBS曲线和曲面的基本定义和属性讲解，对NURBS曲线和曲面的相关操作及算法。如果想了解几何里面的曲线和曲面的知识，这本书很值得推荐！书籍从浅入深剖析样条曲线，采用通俗易懂的用词。能很轻松的看懂。里面有很多伪代码，能很方便修改成C/C++代码，然后直接套用。

源码：NLib source code has it's origins in code developed by Wayne Tiller and Les Piegel, based on their reference work "The Nurbs Book".

Home - Solid Modeling Solutions - NURBS-Based Geometry Kernel Libraries

SMS Libraries Manual - Solid Modeling Solutions - NURBS-Based Geometry Kernel Libraries

C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分B-spline Curves

2 《非均匀有理B样条(第2版)》是《THE NURBS BOOK 2nd》的中文版翻译

作者: Les Piegl / Wayne Tiller

出版社: 清华大学出版社

译者: 赵罡 / 穆国旺 / 王拉柱

3《An Introduction to NURBS.pdf》

配套源码：http://www.nar-associates.com/nurbs/c_code.html

4 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条(修订版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013.

5 数值分析

6《计算几何算法与实现（Visual C++版）》孔令德，三次参数样条曲线

7《计算机图形学——基于MFC三维图形开发》孔令德

8《数值计算方法与算法（第三版）》张韵华

四、更多的参考博客

曲线数学NURBS之bezier曲线

曲线数学NURBS之B样条曲线

[图形学] B样条曲线 - 原理和C++实现的演示程序（附源码）

三次B样条曲线拟合算法

三次Beizer曲线拟合算法

五、NURBS开源库

NURBS++ ++ libnurbs - Browse Files at SourceForge.net nurbs++-3.0.11

Nurbs3.0.11开源库vs2010源代码-C++文档类资源-CSDN下载 Nurbs3.0.11开源库vs2010源代码

SISL ++ https://github.com/SINTEF-Geometry/SISL SISL

https://github.com/sintefmath/Splipy

SINTEF SISL库是当前可用的最成熟且功能完整的开源NURBS库，尽管它似乎尚未在开源社区中获得关注。它是GPL许可。最新版本使用CMake构建。SISL是一个全面的NURBS库，用于对曲线和曲面进行建模和询问。它用C语言实现，并且经过三十多年的不断发展。

Interpolation — GSL 2.7 documentation GSL

https://github.com/pradeep-pyro/tinynurbs

Primary Reference -- "The NURBS Book," Les Piegl and Wayne Tiller, Springer-Verlag, 1995.

https://github.com/msteinbeck/tinyspline

https://github.com/mcneel/opennurbs

GitHub - OpenNurbsFit/OpenNurbsFit: Open source NURBS fitting library

What is openNURBS? with C/C++

NURBS-Python :: Onur Rauf Bingol ++ GitHub - orbingol/NURBS-Python: Object-oriented pure Python B-Spline and NURBS library

Ayam - Start Ayam is an open source NURBS modeler based on Tcl/Tk and OpenGL.

GitHub - OpenNurbsFit/OpenNurbsFit: Open source NURBS fitting library

https://github.com/q576333/agv_path_smoothing

https://github.com/aijm/NURBS

六、在线绘图工具：贝塞尔曲线生成及测试

GeoGebra - the world’s favorite, free math tools used by over 100 million students and teachers

cubic-bezier.com

七、可视化工具 -- IGOR Pro（商业软件）

一款强大好用的数据绘图和处理工具，igor最突出的特色不是绘图，而完全可以程的特点，软件提供了大量的函数以及命令供用户选择，且拥有易于使用的编程环境，可以将编程当作数据处理的一部分，而且无需任何外部的支持，软件内置了预编译指令、文件包含、条件编译、名称空间等，支持与主流的文件格式兼容，比如HDF、matlaba、mcamp等，支持win、mac等操作系统。

Igor Pro | Igor Pro by WaveMetrics

Curve Fitting

Peak Finding

Global Fitting

八、可视化工具 -- FitYk曲线拟合软件（开源）

curve fitting (peak fitting) software

Fityk --- curve fitting and peak fitting software — Fityk 1.3.1 manual

https://github.com/wojdyr/fityk

九、可视化工具 -- curvefitter（免费不开源）

WELSIM® | Finite Element Analysis Software

Overview - WELSIM Documentation

引申阅读

OpenCV库的拟合算子 approxPolyDP

Halcon库的拟合算子 gen_contour_nurbs_xld

Opencascade库的拟合算子 Geom2dAPI_PointsToBSpline