Bezier曲线的生成方法

生成一条Bezier曲线实际上就是要求出曲线上的点。

1.根据定义直接生成Bezier曲线

定义：

其中

那么生成步骤为：

①首先给出 $C_{n}^{i}$ 的递归计算式：

②：将 $p(t)$ 表示成分量形式

由于 $C_{n}^{i}$ 的计算量大，算法效率不高。

2.Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法

Bezier曲线上的任一个点p(t)，都是其它相邻线段的同等比例(t)点处的连线，再取同等比例(t)的点再连线，一直
取到最后那条线段的同等比例(t)处，该点就是Beizer曲线上的点(t)。

以二次Bezier曲线为例,其中 $P_{n}^{i}$ 的n表示从哪个点作为起点，i表示i次，两个直线相连次数加1：

带入后得到：

下面开始递推：

二次Bezier曲线 $P_{0}^{2}$ （三个点）可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线 $P_{0}^{n}$ 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：

即：这个大家可以在纸上画画三次，四次，会对这个递推式印象更深

由此得到de Casteljau算法：

优点：稳定可靠，直观简便。

3.Bezier曲线计算举例

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