第5章回溯法

5.1 回溯法

1.回溯法的提出
有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。

2. 问题的解空间
（1）问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。
（2）显约束：对分量xi的取值限定。
（3）隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
（4）解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。

3. 回溯法的基本思想
（1）针对所给问题，定义问题的解空间；
（2）确定易于搜索的解空间结构；
（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4. 生成问题状态的基本方法

（1）相关概念：
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点
死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点
（2）深度优先的问题状态生成法：
如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）
（3）广度优先的问题状态生成法：
在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点
（4）回溯法：
为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法

5. 常用剪枝函数
（1）用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树（01背包问题）
（2）用限界函数剪去得不到最优解的子树（旅行商问题）

6.计算空间
用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2^h(n))或O(h(n)!)内存空间。

7.算法框架
（1）递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。

（2）迭代回溯
采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程。

（3）子集树算法框架
遍历子集树需O(2ⁿ)计算时间

（4）排列树算法框架
遍历排列树需要O(n!)计算时间

8.回溯法效率分析

回溯算法的效率在很大程度上依赖于以下因素：
(1)产生x[k]的时间；
(2)满足显约束的x[k]值的个数；
(3)计算约束函数constraint的时间；
(4)计算上界函数bound的时间；
(5)满足约束函数和上界函数约束的所有x[k]的个数。
好的约束函数能显著地减少所生成的结点数。但这样的约束函数往往计算量较大。因此，在选择约束函数时通常存在生成结点数与约束函数计算量之间的折衷。

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