算法设计与分析——第五章回溯法批处理作业调度 + 最大团问题+图的m着色问题

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6、批处理作业调度（排列树）
7、最大团问题
8、图的m着色问题

6、批处理作业调度（排列树）

每一个作业Ji都有两项任务分别在2台机器上完成。每个作业必须先有机器1处理，然后再由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理时间。则所有作业在机器2上完成处理时间和f=F2i，称为该作业调度的完成时间和。

也就是f1[i]=上一步的使用时间+自己消耗的时间，f2[i]=max(当前在机器1上的时间，上一步的使用时间)+自己消耗的时间。
详细的解释见参考文章

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int x[100];//当前的作业调度顺序
int bestx[100];//最优的调度顺序
int m[100][100];//各作业所需的处理时间
int f1,f2=0;//机器1、2完成时间
int bestf=1000;//最短完成时间
int cf=0,n;//当前完成时间和
Swap(int &a,int &b)
{int t=a;a=b;b=t;
}
void BackTrace(int t)
{if(t>n){if(cf<bestf){for(int i=1; i<=n; i++)bestx[i]=x[i];bestf=cf;}}else{for(int i=t; i<=n; i++){f1+=m[x[i]][1];int tempf=f2;//保存的是上一个作业在f2的时间f2=(f1>f2?f1:f2)+m[x[i]][2];cf+=f2;if(cf<bestf)//超过最优时间就没必要继续了{Swap(x[t],x[i]);//回到上一个位置BackTrace(t+1);//再继续向下找Swap(x[t],x[i]);//得到一个最优后就要回溯}f1-=m[x[i]][1];cf-=f2;f2=tempf;}}
}
int main()
{int i,j;cout<<"请输入作业数："<<endl;cin>>n;cout<<"请输入在各机器上的处理时间"<<endl;for(i=1; i<=2; i++) //ｉ从１开始for(j=1; j<=n; j++)cin>>m[j][i];//第j个作业,第i台机器的时间值for(i=1; i<=n; i++)x[i]=i;//初始化当前作业调度的一种排列顺序BackTrace(1);cout<<"调度作业顺序："<<endl;for(i=1; i<=n; i++)cout<<bestx[i]<<' ';cout<<endl;cout<<"处理时间："<<endl;cout<<bestf;return 0;
}
/*
输入：
3
2 3 2
1 1 3
输出：
调度作业顺序：
1 3 2
处理时间：
18
*/

7、最大团问题

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总结： i从1开始向下找，如果i与当前所有解中有一个没有边，那么i不能放入解中，x[i]=0；否则cn++且x[i]=1。由于是深度优先搜索，所以先判断是否能进入左子树，能则（即x[i]=1）cn++，递归下一层且回退时cn–，不能则用限界函数判断是否需要进入右子树，cn+n-i>bestn时表示不选择当前的结点也可能获得更好的bestn，所以可以进入右子树。

#include <iostream>
using namespace std;
int m[100][100];//有向图的邻接矩阵
int x[100],bestx[100];//当前团的解 最优解
int n;//表示图的顶点数
int cn=0,bestn;//当前团的大小 当前最优值
void getbestn(int i)
{if(i>n) //递归出口，到根节点时，更新最优值和最优解，返回{bestn=cn;//更新最优值for(int j=1; j<=n; j++)bestx[j]=x[j];return ;//返回}x[i]=1;//先假定x[i]=1;for(int j=1; j<i; j++){if(x[j]==1&&m[i][j]==0)//如果该点与已知解中的点无边相邻{x[i]=0;break;//则不遍历左子树}}if(x[i]==1) //当且仅当x[i]==1时，遍历左子树{cn++;//该点加入当前解getbestn(i+1);//递归调用cn--;//还原当前解}if(cn+n-i>bestn) //如果当前值+右子树可能选择的节点>当前最优解则可以遍历右子树，否则无需继续进行{x[i]=0;getbestn(i+1);}return ;
}
int main()
{cin>>n;//输入图的顶点数//输入图的邻接矩阵for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=n; j++)cin>>m[i][j];//求最优解getbestn(1);cout<<bestn<<endl;//输出最优值//输出for(int i=1; i<=n; i++)if(bestx[i])cout<<i<<" ";//输出最优解return 0;
}
/*
输入：
5
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 0
输出：
3
1 2 5
*/

8、图的m着色问题

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总结： i从第一个节点开始，其颜色j从1到m种颜色中找，如果找到一个不会和相连结点重复的颜色，则color[j]++（第j种颜色被用过），同时递归下一层，没找到时回退同时color[j]–、i的颜色归0。到达叶节点时更新bestn、bestx[]。
代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int c[100][100]; //邻接矩阵
int x[100],bestx[100];  //当前顶点i的颜色 最终节点i的颜色
int cn,bestn,m,n; //cn记录方案数 n个顶点 m种颜色
int color[100]; //color[i]!=0表示第i号颜色被用到过
int Check(int k)    //检查第k个顶点的颜色是否满足条件
{for(int i=1; i<=k; i++){if(c[k][i]==1&&x[i]==x[k]) //k与i之间相连并且i顶点的颜色与k顶点的颜色相同return 0;}return 1;
}void GraphColor(int i)
{if(i>n)  //到达叶结点{cn=0;for(int j=1; j<=m; j++){if(color[j]) cn++;}if(bestn>cn||bestn==0)//出现更小的bestn{//更新最大颜色数bestn=cn;for(int j=1; j<=n; j++)bestx[j]=x[j];}}else{for(int j=1; j<=m; j++){x[i]=j;   //首先将这个顶点颜色换为iif(Check(i)==1)  //检查是否符合条件{color[j]++;//满足则颜色数++GraphColor(i+1); //走下一步color[j]--;}x[i]=0;  //回溯 置为0}}
}int main()
{int a,b;cin>>n>>m;//邻接表for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=n; j++)cin>>c[i][j];//从第一个节点开始GraphColor(1);//输出各点的颜色for(int j=1; j<=n; j++)cout<<bestx[j]<<' ';cout<<endl;//总颜色数cout<<bestn;return 0;
}
/*
输入
5 4
0 1 1 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
0 1 0 1 0输出
4 3 2 1 4
4
*/