平面分治详解超级详细（附带例题最近点对问题（给了题目））（UVA10245，P1257，P1429）

最近点对问题，大概意思平面有n个点，求距离最近的两个点对的距离（可用平面分治解决绝大部分情况）

首先如果一个一个比较，那就是n的二次方复杂度，那很多情况都会超时

我们考虑使用分治法，大概思路就是将这个平面分成两半（横的分竖的分都行，这里讲的是根据横坐标竖着分）
注意我们这个不是按照（最前的x坐标 + 最后的x坐标）/ 2这么分，因为这样可能会递归深度退化，我们应该按照最中间的那个点的x坐标来分，这样保证每次递归，点的数量都减半。

分治思路就是把点按x坐标分成两半，有两种情况：
（1）若两点同在左半边或右半边时的最小距离
（2）若两点分别在左半边和右半边时的最小距离

对于（1）我们递归的结果返回就能得到，我们重点考虑（2）
对于我们从（1）中得到的最小距离，我们记为 d ，我们只需考虑两点距离小于 d 的情况（且这两点在左右两边），所以距离中间点的 x坐标差大于等于d的点我们可以不考虑，并且我们不再需要考虑同边

对于处理（2）大概讲三条思路（只有deal函数中处理（2）方法是不同的，为了节省篇幅，后面两种只写了修改后的deal函数）

第一种：对于每个离中间点的 x坐标差小于 d 的左边点，我们遍历每个离中间点的 x坐标差小于 d 的右边点，取距离最小值返回即可

【相当于我们对于左边虚线内的所有点遍历一次右边虚线内所有点，由于 d 的值会不断减小，所以不用担心遍历太多次。】

缺点：我们遍历了一些 y坐标差大于等于 d 的不可能为最小距离的多余情况

代码如下（这种在P1429中所耗 687ms / 3.62MB / 1.52KB ）

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define INF (double)1e18
using namespace std;
pair<double, double> data[200005];
bool cmp(pair<double, double> p1, pair<double, double> p2)
{if(p1.second == p2.second){return p1.first < p2.second;}return p2.second < p2.second;
}
double dist(pair<double, double> p1, pair<double, double> p2)
{double num = (p1.first - p2.first) * (p1.first - p2.first) + (p1.second - p2.second) * (p1.second - p2.second);return sqrt(num);
}
double deal(int q, int t)
{if(t - q == 1){return INF;}double a = deal(q, (q + t) / 2);double b = deal((q + t) / 2, t);double x_mid = data[(q+t)/2].first;double d = min(a, b);int i = upper_bound(data + q, data + (q + t) / 2, make_pair(x_mid - d, INF)) - data;int jj = upper_bound(data + (q + t) / 2, data + t, make_pair(x_mid + d, INF)) - data;for(; i < (q + t) / 2; i++){for(int j = (q + t) / 2; j < jj; j++){if(data[i].first - data[j].first >= d){break;}else{d = min(d, dist(data[i], data[j]));}}}return d;
}
int main()
{int N;scanf("%d", &N);for(int i = 0; i < N; i++){scanf("%lf %lf", &data[i].first, &data[i].second);}sort(data, data + N);double jg = deal(0, N);printf("%.4lf\n", jg);
}

第二种：我们在递归处理的同时，按 y坐标进行归并排序

这样的话我们无法判断直接判断哪个点的 x坐标离中间点的横坐标距离小于 d ，所以我们遍历所有点，当点的 x坐标在距离中间点的横坐标距离小于 d 时进行处理，处理方法为，对一定范围的点，进行遍历比较，如下图

【相当于我们对于所有点遍历一次，如果 x坐标在范围内，我们便对阴影区域进行遍历，由于有 d 的限制，所以除去自身，该矩形阴影内最多还有 5 个点。】

缺点：我们遍历了所有点，有 x坐标距离中间点横坐标超过 d 的多余情况

代码如下（这种在P1429中所耗 1.19s / 8.03MB / 1.45KB ）

double deal(int q, int t)
{if(t - q == 1){return INF;}double x_mid = data[(q+t)/2].first;double a = deal(q, (q + t) / 2);double b = deal((q + t) / 2, t);double d = min(a, b);inplace_merge(data + q, data + (q + t) / 2, data + t, cmp);vector<int> dian;for(int i = q; i < t; i++){if(data[i].first <= x_mid - d || data[i].first >= x_mid + d){continue;}for(int j = dian.size() - 1; j >= 0; j--){if(data[i].second - data[dian[j]].second >= d){break;}d = min(d, dist(data[i], data[dian[j]]));}dian.push_back(i);}return d;
}

第三种：因为同边的点的最小值已经求出为 d ，所以不用同边的之间再次比较，所以我们可以分开两个vector容器分别存左边和右边的 x坐标在范围内的点

但是这种会产生一种问题，如果在中间点的横坐标的点，我们不知道它属于左边还是右边，所以我们左右两边都得存放，且要和左右两边都比较一次
这种优化很不明显，甚至当在中间点的横坐标上的点多了的时候会退化，且原本范围内也就只用匹配最多五次，改了也就省了一两次匹配，还增加了大量代码量

缺点多着

代码如下（ 1.58s / 8.07MB / 2.25KB ）

double deal(int q, int t)
{if(t - q == 1){return INF;}double x_mid = data[(q+t)/2].first;double a = deal(q, (q + t) / 2);double b = deal((q + t) / 2, t);double d = min(a, b);inplace_merge(data + q, data + (q + t) / 2, data + t, cmp);vector<int> right;vector<int> left;for(int i = q; i < t; i++){if(data[i].first <= x_mid - d || data[i].first >= x_mid + d){continue;}if(data[i].first <= x_mid){left.push_back(i);for(int j = right.size() - 1; j >= 0; j--){if(i == left[j]){continue;}if(data[i].second - data[right[j]].second >= d){break;}else{d = min(d, dist(data[i], data[right[j]]));}}}if(data[i].first >= x_mid){right.push_back(i);for(int j = left.size() - 1; j >= 0; j--){if(i == left[j]){continue;}if(data[i].second - data[left[j]].second >= d){break;}else{d = min(d, dist(data[i], data[left[j]]));}}}}return d;
}

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