陶哲轩实分析习题 10.3.5

构造一个子集$X\subset \mathbf{R}$和一个函数$f:X\to \mathbf{R}$,使得$f$在$X$上可微，并且对于一切$x\in X$,$f'(x)>0$,但是$f$不是严格单调递增的.

解:令$X=(0,1)\bigcup (1,2)$.当$x\in (0,1)$时，令$f(x)=x$.当$x\in (1,2)$时，令$f(x)=x-1$.此函数即为满足条件的函数.

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