图上的文章(割点和桥)
题外话:
今天不想码代码了,知识普及的一天
注意:以下内容是在无向图的基础上
无向图的割点
很久之前就知道这些名词
今天终于可以来填坑了。。。
如果将连通图G中的某个点及和这个点相关的边删除后,将使连通分量数量增加,那么这个点就称为图G的割点或是接合点。
如果一个无向图没有割点,则这样的图被称为双连通图。
关于图的割点,有如下两条性质:
【性质一】
如果深度优先搜索树的根节点至少有两个以上的子节点,则根节点是割点。显然去掉根节点后将得到以子节点为根结点的森林。【性质二】
在深度优先搜索树中,v存在一个子节点不能通过后向边到达v的祖先节点,则节点v是割点。
也就是说从v的子节点开始没有一条边能够回到v的祖先节点,那么当去掉v时将会使得v的子孙节点与v的祖先节点之间失去联系。必定会使得图不再连通。
可以通过对图的深度优先搜索,
加上上面的两条性质来寻找图中的割点。
在对图进行深度优先搜索时,记录下遍历的顺序pre_order,
则pre_order从小到大就代表了从根节点一直到叶子节点。
在遍历的时候同时得出每一个节点通过自己或是子孙节点的后向边(不是从父亲直接来的边)所能达到的最原始的祖先,
也就是pre_order最小的节点,记录在back_order中。
那么如果一个节点的back_order>=父节点的pre_order,
说明该节点的子孙节点不存在一条后向边到达父节点的祖先节点,则根据第二条性质,该节点必是割点。
back_order的计算
由于back_order记录的是节点所能返回到的最原始的祖先节点,
初始化back_order[v]=pre_order[v],
及顶点v所能返回的最原始祖先就是自己。
在对v进行深搜时,如果与v相邻的下一个节点w没被访问过,说明(v,w)是生成树上的边,
那么back_order[v]就应该是v和w中能返回到最原始祖先的点的back_order,
即back_order[v]=min(back_order[v],back_order[w])
如果w已经被访问过,说明w就是v的祖先,那么back_order[v]就应该是v之前计算得到的所能返回的祖先节点与w之间最小的一个,
即back_order[v]=min(back-order[v],pre_order[w])。
int pre[N];
int back[N]; int dfs(int now,int fa)
{int low=pre[now]=++tot; //时间戳++int ch=0; //子节点个数 for (int i=st[now];i;i=way[i].nxt){int v=way[i].y;if (!pre[v]) //v是子节点 {ch++;int lowv=dfs(v,now); //子节点能够回溯到的最远祖先 low=min(low,lowv);if (lowv>=pre[now]) //存在一个子节点与祖先不联通,now就是割点 iscut[now]=1; //割点 }else if (pre[v]<pre[now]&&v!=fa) //是祖先,但不是直接父亲 { //说明low是之前计算得到的所能返回的祖先节点 low=min(low,pre[v]);}}if (fa<0&&ch==1) iscut[now]=0; //性质一的验证 back[now]=low;return low;
}
注意
一定要写v!=fa
因为边(u,fa)不是反向边,而是dfs树边(fa,u)的第二次遍历
pre的初始化是0,第一次调用时,fa的初始值是-1
附:训练指南(刘汝佳著)P312上有更详尽的解释
无向图的桥
作为一种特殊情况,u为v的父节点,且low(v) < pre(u)
那么我们只要删掉(u,v)这条边就可以让无向图不连通了
满足这个条件的边叫做无向图的桥
也就是说,我们知道了u是割点,而且(u,v)是桥、
int dfs(int now,int fa)
{int ch=0;int low=pre[now]=++tt;for (int i=st[now];i;i=way[i].nxt){int v=way[i].y;if (!pre[v]){int lowv=dfs(v,now);low=min(low,lowv);ch++;if (lowv>pre[now]) //存在即合理 { //因为只找桥,所以在这里我就省去了割点的记录an++;ans[an].x=min(now,v);ans[an].y=max(now,v); } }else if (pre[v]<pre[now]&&v!=fa){low=min(low,pre[v]);}}back[now]=low;return low;
}
无向图的双连通分量
对于一个连通图,如果任意两点至少存在两条“点不重复”的路径,则说这个图是点-双连通的(一般简称双连通)
这就相当于任意两条边都在同一个简单环中,即内部无割点
类似的,如果任意两个点至少存在“边不重复”的路径,我们说这个图是边-双连通的。
即所有边都不是桥
对于一张无向图,点-双连通的极大子图称为双连通分量
边-双连通的极大子图称为边双连通分量(BCC),
也就是说,在删除所有的桥之后,每个连通分量对应原图中的一个边-双连通分量
下面给出点双(BCC)的计算方法
int pre[N],iscut[N],bccno[N],tot=0,bcc_cut;
vector bcc[N];
stack<node> S;int dfs(int now,int fa)
{int low=pre[now]=++tot;int ch=0;for (int i=st[now];i;i=way[i].nxt){int v=way[i].y;node e=way[i];if (!pre[v]){S.push(e);ch++;int lowv=dfs(v,now);low=min(low,lowv);if (lowv>=pre[now]){iscut[now]=1;bcc_cnt++;bcc[bcc_cnt].clear;for (;;){node x=S.top();S.pop();if (bccno[x.x]!=bcc_cnt){bcc[bcc_cnt].push_back(x.x);bccno[x.x]=bcc_cnt;}if (bccno[x.y]!=bcc_cnt){bcc[bcc_cnt].push_back(x.y);bccno[x.y]=bcc_cnt;}if (x.x==now&&x.y==v) break;}}else if (pre[v]<pre[now]&&v!=fa){S.push(e);low=min(low,pre[v]);}}}if (fa<0&&ch==1) iscut[now]=0;return low;
}void find_bcc(int n)
{memset(pre,0,sizeof(pre));memset(iscut,0,sizeof(iscut));memset(bccno,0,sizeof(bccno));tot=bcc_cnt=0;for (int i=1;i<=n;i++) //森林 if (!pre[i])dfs(i,-1);
}
边双的计算方法更简单,分两个步骤,
先作一次dfs标记出所有的桥,然后再做一次dfs找出边双
因为边双不能经过桥而且两个边双之间没有公共点,
所以在dfs的时候只要保证不经过桥即可
转载于:https://www.cnblogs.com/wutongtong3117/p/7673121.html
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