图论数学：矩阵树定理

运用矩阵树定理进行生成树计数

给定一个n个点m条边的无向图，问生成树有多少种可能

直接套用矩阵树定理计算即可

矩阵树定理的描述如下：

首先读入无向图的邻接矩阵，u-v G[u][v]++ G[v][u]++

度数矩阵： u-v D[u][u]++ D[v][v]++;

然后计算图G的基尔霍夫矩阵 C=D-G

接着去掉基尔霍夫矩阵的第i行和第i列（必须都是i,i取任意值）

计算剩下的子矩阵的行列式的值得绝对值即为生成树个数

然后对于有向图来说：

边 u->v G[u][v]++ 然后是D[v][v]++（有向图的度数矩阵指的是入度而不是出度）

这样根据上述步骤计算得来的是树形图的个数

在计算行列式的时候：

先用高斯消元消成上三角矩阵，再把对角线乘起来

（与乘法逆元相关的以后再展开）

下面介绍实现：

const int maxn=15;
int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
double a[maxn][maxn];
int T,n,m;

B是邻接矩阵，A是度数矩阵

a是基尔霍夫矩阵

我们在读入了n之后n--的目的是直接排除最后一行和最后一列将其变成余子式（是叫这个嘛？？）

然后是计算行列式：

void gauss()
{int now=1;for(int i=1;i<=n;i++){int j=now;while(fabs(a[j][now])<eps&&j<=n) j++;if(j==n+1) {puts("0");return;}for(int k=1;k<=n;k++) swap(a[now][k],a[j][k]);for(int j=now+1;j<=n;j++){double t=a[j][now]/a[now][now];for(int k=1;k<=n;k++)a[j][k]-=t*a[now][k];}now++;}double ans=1;if(n&1) ans=-ans;for(int i=1;i<=n;i++) ans*=a[i][i];printf("%.0lf\n",abs(ans));
}

这里的高斯消元是消成上三角矩阵，然后就方便计算det了

完整的实现如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #define eps 1e-8
 6 using namespace std;
 7 const int maxn=15;
 8 int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
 9 double a[maxn][maxn];
10 int T,n,m;
11 int read()
12 {
13     int x=0,f=1;char ch=getchar();
14     while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
15     while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
16     return x*f;
17 }
18 void gauss()
19 {
20     int now=1;
21     for(int i=1;i<=n;i++)
22     {
23         int j=now;
24         while(fabs(a[j][now])<eps&&j<=n) j++;
25         if(j==n+1) {puts("0");return;}
26         for(int k=1;k<=n;k++) swap(a[now][k],a[j][k]);
27         for(int j=now+1;j<=n;j++)
28         {
29             double t=a[j][now]/a[now][now];
30             for(int k=1;k<=n;k++)
31                 a[j][k]-=t*a[now][k];
32         }
33         now++;
34     }
35     double ans=1;
36     if(n&1) ans=-ans;
37     for(int i=1;i<=n;i++) ans*=a[i][i];
38     printf("%.0lf\n",abs(ans));
39 }
40 int main()
41 {
42     T=read();
43     while(T--)
44     {
45         memset(A,0,sizeof(A));
46         memset(B,0,sizeof(B));
47         n=read();m=read();
48         n--;
49         for(int i=1;i<=m;i++)
50         {
51             int u=read(),v=read();
52             u--;v--;
53             A[u][u]++;A[v][v]++;
54             B[u][v]++;B[v][u]++;
55         }
56         for(int i=1;i<=n;i++)
57         {
58             for(int j=1;j<=n;j++)
59                 a[i][j]=A[i][j]-B[i][j];
60         }
61         gauss();
62     }
63     return 0;
64 }

转载于:https://www.cnblogs.com/aininot260/p/9426134.html

图论数学：矩阵树定理相关推荐

P3317-[SDOI2014]重建【矩阵树定理,数学期望】
正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3317 题目大意 nnn个点若干条边.告诉你每条边出现的概率,求刚好出现一颗生成树的概率是多少. 解题思路矩阵树 ...
学习小记-----行列式矩阵树定理Kirchhoff's theorem
为什么我的标题要加上Kirchhoff's theorem呢,是因为之前我查这个定理是用这个英文在谷歌上查的,然后,,,,我看了20多分钟的英文维基百科,然后爬墙去做别的题目了QAQ 行列式前置知识 ...
行列式入门与矩阵树定理完整证明
文章目录前置技能行列式定义性质拉普拉斯展开线性性可乘性可加性不重性可倍加性转置不变性可交换性行可交换性列可交换性优化行列式的计算矩阵树定理前置定义一些引理转置引理 ...
矩阵树定理2020HDU多校第6场j-Expectation[位运算+期望]
矩阵树定理用于求解图上面生成树的个数,生成树的个数等于基尔霍夫矩阵的任何一个N-1阶主子式的行列式的绝对值矩阵树模板 struct Matrix_Tree {ll a[N][N];Matrix_T ...
Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡（容斥，矩阵树定理，子集反演）
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划 Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡(容斥,矩阵树定理) Problem n≤1 ...
【学习笔记】矩阵树定理（Matrix-Tree）
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划目录一.矩阵树定理二.常用定理三.例题 1. Luogu P6178 [模板]Matrix-Tr ...
[CF917D]Stranger Trees[矩阵树定理+解线性方程组]
题意给你 \(n\) 个点的无向完全图,指定一棵树 \(S\),问有多少棵生成树和这棵树的公共边数量为 \(k\in[0,n-1]\) \(n\leq 100\) 分析考虑矩阵树定理,把对应的树边 ...
HDU多校6 - 6836 Expectation(矩阵树定理+高斯消元求行列式)
题目链接:点击查看题目大意:给出一张由 n 个点和 m 条边组成的无向图,对于任意一个生成树,其权值为 n - 1 条边的边权进行二进制的 and 运算,现在需要在图中任意选择一个生成树,问期望权值 ...
Wannafly挑战赛23F-计数【原根,矩阵树定理,拉格朗日插值】
正题题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/161/F 题目大意给出nnn个点的一张图,求它的所有生成树中权值和为kkk的倍数的个数.输出答案对ppp取模 ...

图论数学：矩阵树定理

图论数学：矩阵树定理相关推荐

最新文章

热门文章