Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡（容斥，矩阵树定理，子集反演）

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Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡（容斥，矩阵树定理）

Problem

n≤17,P=109+7n\le 17, P = 10^9+7n≤17,P=109+7

Solution

题目就是要求由 n−1n-1n−1 个公司每个公司一条边建成的生成树的方案数。

显然求生成树的方案数，我们直接用矩阵树定理计算即可。

现在考虑满足 每个公司都只负责一条边的方案数 如何计算。

显然有：n≤17+计数问题=容斥n\le 17 + 计数问题 = \text{容斥}n≤17+计数问题=容斥

我们可以先用矩阵树定理计算 n−1n-1n−1 个公司包含的所有边集的生成树的个数，显然这里算出来的生成树，不一定 n−1n-1n−1 个公司都参与了建设，我们用容斥原理减去不合法的即可。

显然就是枚举有多少个公司没有参与建设，然后利用容斥原理奇加偶减，答案减去容斥原理计算出的结果，变成奇减偶加。

我们设 g(S)g(S)g(S)为最终的答案，即全集 SSS 全部被覆盖的情况的方案数。

f(S)f(S)f(S) 为公司恰好仅为 SSS 的方案。

显然有：

g(S)=∑T⊆Sf(T)g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}f(T)g(S)=T⊆S∑f(T)

根据子集反演可得：

f(S)=∑T⊆S(−1)∣S∣−∣T∣g(T)f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{\left|S\right|-\left|T\right|}g(T)f(S)=T⊆S∑(−1)∣S∣−∣T∣g(T)

即答案就是所有生成树的方案数，减去 111 个公司没有参与，由剩下的 n−2n-2n−2 个公司建成的生成树的个数，加上 222 个公司没有参与，由剩下的 n−3n-3n−3 个公司建成的生成树的个数，减去 333 个公司没有参与，由剩下的 n−4n-4n−4 个公司建成的生成树的个数 ⋯\cdots⋯

我们可以通过二进制枚举来枚举具体选择了那几个公司的边，处理出此时的基尔霍夫矩阵，然后直接利用矩阵树定理高斯消元 O(n3)O(n^3)O(n3) 计算代数余子式的行列式即可。

注意我们矩阵树定理计算的时候是可以处理重边的，所以如果一条边被多个公司覆盖，就把它当成重边即可，这样都当成重边算，最后减下来是没有重边的。

Time

O(2n×n3log⁡P)O(2^{n}\times n^3\log P)O(2n×n3logP)

Code

// Problem: P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4336
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;const int N = 100 + 7, M = 1e5 + 7, mod = 1e9 + 7;int n, m[M], s, t, k, ans, a[N][N];
int siz[M];
int u[N][N], v[N][N];int qpow(int a, int b)
{int res = 1;while(b) {if(b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}int guass2(int n)// 辗转相除 = TLE
{int det = 1;for (int i = 2; i <= n; ++ i) {for (int j = i + 1; j <= n; ++ j) {while(a[j][i]) {int t = a[i][i] / a[j][i];for (int k = i; k <= n; ++ k)a[i][k] = (a[i][k] - t * a[j][k] + mod) % mod;swap(a[i], a[j]);det = -det;} }det = (det * a[i][i]) % mod;if(det == 0) return 0;}return (det + mod) % mod;
}int guass(int n)// 求逆元 = AC
{int det = 1;for (int i = 2; i <= n; ++ i) {for (int j = i; j <= n; ++ j) {if(a[i][j]) {swap(a[i], a[j]);if(i != j) det = mod - det;break;}}int inv = qpow(a[i][i], mod - 2);for (int j = i + 1; j <= n; ++ j) {if(a[j][i]) {int tmp = a[j][i] * inv % mod;for (int k = i; k <= n; ++ k) {a[j][k] = (a[j][k] - a[i][k] * tmp % mod + mod) % mod;}}}}for (int i = 2; i <= n; ++ i)det = det * a[i][i] % mod;return det;
}signed main()
{scanf("%lld", &n); for (int i = 1; i <= n - 1; ++ i) {scanf("%lld", &m[i]);for (int j = 1; j <= m[i]; ++ j) {scanf("%lld%lld", &u[i][j], &v[i][j]);int x = u[i][j], y = v[i][j];a[x][x] ++ ;a[y][y] ++ ;a[x][y] = (a[x][y] + mod - 1) % mod;a[y][x] = (a[y][x] + mod - 1) % mod;}} ans = guass(n);for (int i = 1; i <= (1 << (n - 1)) - 1; ++ i) {for (int j = 1; j <= n; ++ j) for (int k = 1; k <= n; ++ k) a[j][k] = 0;int cnt = 0;int tmp = i, j;for (j = 1; tmp; tmp >>= 1, ++ j) {if((tmp & 1) == 0) continue;cnt ++ ; for (int k = 1; k <= m[j]; ++ k) {int x = u[j][k], y = v[j][k];a[x][x] ++ ;a[y][y] ++ ;a[x][y] = (a[x][y] + mod - 1) % mod;a[y][x] = (a[y][x] + mod - 1) % mod;}}if(cnt == n - 1) continue;ans = (ans - ((((n - 1) - cnt) & 1) ? 1 : -1) * guass(n) + mod) % mod;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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