前置技能

• 简单的数学知识
• 高斯消元

行列式

定义

对于一个 n×nn \times nn×n 的矩阵 AAA，记它第 iii 行第 jjj 列的元素为 ai,ja_{i, j}ai,j​，以及一个 1∼n1 \sim n1∼n 的排列 ppp，记 λA(p)=(−1)τ(p)∏i=1nai,pi\lambda_A(p) = (-1) ^ {\tau(p)} \prod_{i = 1}^{n} a_{i, p_i}λA​(p)=(−1)τ(p)i=1∏n​ai,pi​​（其中 τ(p)\tau(p)τ(p) 是 ppp 的逆序对个数）则 ∣A∣=det⁡A=∑pλA(p)=∑p((−1)τ(p)∏i=1nai,pi)|A| = \det A = \sum_{p} \lambda_A(p) = \sum_{p} \left( (-1) ^ {\tau(p)} \prod_{i = 1}^{n} a_{i, p_i} \right)∣A∣=detA=p∑​λA​(p)=p∑​((−1)τ(p)i=1∏n​ai,pi​​)（其中 ∣A∣|A|∣A∣ 和 det⁡A\det AdetA 都是 AAA 的行列式的意思，后文有时为了便于区分行列式和绝对值会使用 det⁡A\det AdetA，其余大部分时候使用 ∣A∣|A|∣A∣）显然行列式运算结果是数量。

简单理解一下发现这样的计算方法的时间复杂度是 O(n⋅log⁡n⋅n!)O(n \cdot \log n \cdot n!)O(n⋅logn⋅n!)。因此这个定义没什么用

性质

除了少数几个，名字基本都是乱编的

拉普拉斯展开

对于一个 n×nn \times nn×n 的矩阵 AAA 和任意一个 1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n，有 ∣A∣=∑j=1n(−1)i+jai,j∣Ai,j∣|A| = \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{i + j} a_{i, j} |A_{i, j}|∣A∣=j=1∑n​(−1)i+jai,j​∣Ai,j​∣ 其中 Ai,jA_{i, j}Ai,j​ 指矩阵 AAA 删去第 iii 行和第 jjj 列的所有元素后形成的一个 (n−1)×(n−1)(n - 1) \times (n - 1)(n−1)×(n−1) 的矩阵。这个计算式称为对第 iii 行进行拉普拉斯展开。

证明：
根据定义每个 λA(p)\lambda_A(p)λA​(p) 一定有一个因子 xxx 满足 x∈{ai,1,ai,2,⋯,ai,n}x \in \{a_{i, 1}, a_{i, 2}, \cdots, a_{i, n}\}x∈{ai,1​,ai,2​,⋯,ai,n​}，枚举 jjj 得到这个因子 ai,ja_{i, j}ai,j​ 和满足 pi=jp_i = jpi​=j 的排列 ppp，然后将这个 pip_ipi​ 删除，并把 ppp 中所有大于 jjj 的元素减一得到 qqq（qqq 是 1∼n−11 \sim n-11∼n−1 的排列），于是在 n,i,jn, i, jn,i,j 确定时有了一个 ppp 与 qqq 之间的一一对应的函数关系。

例如，当 n=3,i=1,j=2n = 3, i = 1, j = 2n=3,i=1,j=2 时，满足 p1=2p_1 = 2p1​=2 的 ppp 有 {2,1,3},{2,3,1}\{2, 1, 3\}, \{2, 3, 1\}{2,1,3},{2,3,1}，将 222 删除，得到{1,3},{3,1}\{1, 3\}, \{3, 1\}{1,3},{3,1}，然后将 333 减一，得到 qqq 为 {1,2}\{1, 2\}{1,2} 和 {2,1}\{2, 1\}{2,1}；根据 n=3,i=1,j=2n = 3, i = 1, j = 2n=3,i=1,j=2，亦可将 qqq 还原为 ppp。

令 ξ(p)=q\xi(p) = qξ(p)=q，那么 ∣∑pλA(p)⋅[j=pi]ai,j∣=∣∑pλAi,j(ξ(p))⋅[j=pi]∣\left| \frac{\sum_{p} \lambda_A(p) \cdot [j = p_i]}{a_{i, j}} \right| = \left|\sum_{p} \lambda_{A_{i, j}}(\xi(p)) \cdot [j = p_i] \right|∣∣∣∣​ai,j​∑p​λA​(p)⋅[j=pi​]​∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣​p∑​λAi,j​​(ξ(p))⋅[j=pi​]∣∣∣∣∣​ 右边变为直接枚举 ξ(p)\xi(p)ξ(p)，即 ∣∑pλA(p)⋅[j=pi]ai,j∣=∣∑qλAi,j(q)∣=∣det⁡Ai,j∣\left| \frac{\sum_{p} \lambda_A(p) \cdot [j = p_i]}{a_{i, j}} \right| = \left|\sum_{q} \lambda_{A_{i, j}}(q) \right| = |\det A_{i, j}|∣∣∣∣​ai,j​∑p​λA​(p)⋅[j=pi​]​∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣​q∑​λAi,j​​(q)∣∣∣∣∣​=∣detAi,j​∣ ∣∑pλA(p)⋅[j=pi]∣=∣ai,j⋅det⁡Ai,j∣\left| \sum_{p} \lambda_A(p) \cdot [j = p_i] \right| = |a_{i, j} \cdot \det A_{i, j}|∣∣∣∣∣​p∑​λA​(p)⋅[j=pi​]∣∣∣∣∣​=∣ai,j​⋅detAi,j​∣ 再考虑正负号，即 τ(p)\tau(p)τ(p) 与 τ(ξ(p))\tau(\xi(p))τ(ξ(p)) 的奇偶性的差别，这取决于 pip_ipi​ 前面大于 jjj 的数量和 pip_ipi​ 后面小于 jjj 的数量，即 ∑k=1i−1[pk>j]+∑k=i+1n[pk<j]=∑k=1i−1[pk>j]+(j−1−∑k=1i−1[pk<j])=∑k=1i−1[pk>j]+j−1−(i−1−∑k=1i−1[pk>j])=2∑k=1i−1[pk>j]+(i+j)≡i+jmod2\begin{aligned} & \sum_{k = 1}^{i - 1} [p_k > j] + \sum_{k = i + 1}^{n}[p_k < j] \\ =& \sum_{k = 1}^{i - 1} [p_k > j] + \left( j - 1 - \sum_{k = 1}^{i - 1}[p_k < j] \right) \\ =& \sum_{k = 1}^{i - 1} [p_k > j] + j - 1 - \left( i - 1 - \sum_{k = 1}^{i - 1}[p_k > j] \right) \\ =& 2\sum_{k = 1}^{i - 1} [p_k > j] + (i + j) \equiv i + j \mod 2\end{aligned}===​k=1∑i−1​[pk​>j]+k=i+1∑n​[pk​<j]k=1∑i−1​[pk​>j]+(j−1−k=1∑i−1​[pk​<j])k=1∑i−1​[pk​>j]+j−1−(i−1−k=1∑i−1​[pk​>j])2k=1∑i−1​[pk​>j]+(i+j)≡i+jmod2​ 于是 τ(p)=(−1)i+jτ(ξ(p))\tau(p) = (-1)^{i + j} \tau(\xi(p))τ(p)=(−1)i+jτ(ξ(p))，则∑pλA(p)⋅[j=pi]=(−1)i+j⋅ai,j⋅det⁡Ai,j\sum_{p} \lambda_A(p) \cdot [j = p_i] = (-1)^{i + j} \cdot a_{i, j} \cdot \det A_{i, j}p∑​λA​(p)⋅[j=pi​]=(−1)i+j⋅ai,j​⋅detAi,j​
于是 ∣A∣=∑pλA(p)=∑j=1n∑pλA(p)⋅[j=pi]=∑j=1n(−1)i+jai,j∣Ai,j∣|A| = \sum_{p} \lambda_A(p) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{p} \lambda_A(p) \cdot [j = p_i] = \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{i + j} a_{i, j} |A_{i, j}|∣A∣=p∑​λA​(p)=j=1∑n​p∑​λA​(p)⋅[j=pi​]=j=1∑n​(−1)i+jai,j​∣Ai,j​∣

(百度百科“拉普拉斯展开”中有一个看不怎么懂的高端证明，但比较简洁，emmm 感觉上跟我这个自己 yy 的证明可能差不多)

线性性

可乘性

对于任意 1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n 和 kkk，若 A=(a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮kai,1kai,2⋯kai,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n)A = \begin{pmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{i, 1} & ka_{i, 2} & \cdots & ka_{i, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​a1,1​⋮kai,1​⋮an,1​​a1,2​⋮kai,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮kai,n​⋮an,n​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​，B=(a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai,1ai,2⋯ai,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n)B = \begin{pmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i, 1} & a_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{pmatrix}B=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​a1,1​⋮ai,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai,n​⋮an,n​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​，则 ∣A∣=k∣B∣|A| = k|B|∣A∣=k∣B∣。

证明：
根据定义，对于每个 ppp，λA(p)=k⋅λB(p)\lambda_A(p) = k \cdot \lambda_B(p)λA​(p)=k⋅λB​(p)，得证。

可加性

对于任意 1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n 和 kkk，∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai−1,1ai−1,2⋯ai−1,nai,1+bi,1ai,2+bi,2⋯ai,n+bi,nai+1,1ai+1,2⋯ai+1,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣=∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai−1,1ai−1,2⋯ai−1,nai,1ai,2⋯ai,nai+1,1ai+1,2⋯ai+1,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣+∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai−1,1ai−1,2⋯ai−1,nbi,1bi,2⋯bi,nai+1,1ai+1,2⋯ai+1,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣\begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i - 1, 1} & a_{i - 1, 2} & \cdots & a_{i - 1, n} \\ a_{i, 1} + b_{i, 1} & a_{i, 2} + b_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} + b_{i, n} \\ a_{i + 1, 1} & a_{i + 1, 2} & \cdots & a_{i + 1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i - 1, 1} & a_{i - 1, 2} & \cdots & a_{i - 1, n} \\ a_{i, 1} & a_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} \\ a_{i + 1, 1} & a_{i + 1, 2} & \cdots & a_{i + 1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i - 1, 1} & a_{i - 1, 2} & \cdots & a_{i - 1, n} \\ b_{i, 1} & b_{i, 2} & \cdots & b_{i, n} \\ a_{i + 1, 1} & a_{i + 1, 2} & \cdots & a_{i + 1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai−1,1​ai,1​+bi,1​ai+1,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai−1,2​ai,2​+bi,2​ai+1,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋯⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai−1,n​ai,n​+bi,n​ai+1,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai−1,1​ai,1​ai+1,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai−1,2​ai,2​ai+1,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋯⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai−1,n​ai,n​ai+1,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai−1,1​bi,1​ai+1,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai−1,2​bi,2​ai+1,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋯⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai−1,n​bi,n​ai+1,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

证明：
对第 iii 行拉普拉斯展开即证。

不重性

对于 n×n(n>1)n \times n (n > 1)n×n(n>1) 的矩阵 AAA，若存在 1≤i≤n,1≤j≤n,j≠j1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n, j \neq j1≤i≤n,1≤j≤n,j​=j 使得对于任意 1≤k≤n1 \leq k \leq n1≤k≤n 都有 ai,k=aj,ka_{i, k} = a_{j, k}ai,k​=aj,k​，即矩阵中某两行对应相等，则 ∣A∣=0|A| = 0∣A∣=0。

证明：
若某排列 ppp 满足 px=i,py=j(x<y)p_x = i, p_y = j (x < y)px​=i,py​=j(x<y)，记 qqq 为 ppp 交换第 x,yx, yx,y 个元素后得到的排列，即 qy=i,qx=j(x<y)q_y = i, q_x = j (x < y)qy​=i,qx​=j(x<y)，那么 λA(p)=−λA(q)\lambda_A(p) = -\lambda_A(q)λA​(p)=−λA​(q)，因为两者逆序对个数相差 111。
于是将所有 1∼n1 \sim n1∼n 的排列这样两两配对，即可使所有 λA(p)\lambda_A(p)λA​(p) 抵消为 000，得证。

可倍加性

对于任意 1≤i≤n,1≤j≤n,j≠j1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n, j \neq j1≤i≤n,1≤j≤n,j​=j：
∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai,1ai,2⋯ai,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣=∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai,1+kaj,1ai,2+kaj,2⋯ai,n+kaj,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣\begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i, 1} & a_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i, 1} + ka_{j, 1} & a_{i, 2} + ka_{j, 2} & \cdots & a_{i, n} + ka_{j, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai,1​+kaj,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai,2​+kaj,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai,n​+kaj,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

证明：
∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai,1+kaj,1ai,2+kaj,2⋯ai,n+kaj,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣=∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai,1ai,2⋯ai,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣+∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮kaj,1kaj,2⋯kaj,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣(可加性)=∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai,1ai,2⋯ai,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣+k∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮aj,1aj,2⋯aj,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣(线性性)=∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai,1ai,2⋯ai,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣+0(不重性)=∣a1,1a1,2⋯a1,n⋮⋮⋱⋮ai,1ai,2⋯ai,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n∣\begin{aligned} & \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i, 1} + ka_{j, 1} & a_{i, 2} + ka_{j, 2} & \cdots & a_{i, n} + ka_{j, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} \\ =& \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i, 1} & a_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{j, 1} & ka_{j, 2} & \cdots & ka_{j, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} & (可加性) \\ =& \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i, 1} & a_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} + k\begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j, 1} & a_{j, 2} & \cdots & a_{j, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} & (线性性) \\ =& \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i, 1} & a_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} + 0 & (不重性) \\ =& \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i, 1} & a_{i, 2} & \cdots & a_{i, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{vmatrix} \end{aligned}====​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai,1​+kaj,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai,2​+kaj,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai,n​+kaj,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮kaj,1​⋮an,1​​a1,2​⋮kaj,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮kaj,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​+k∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮aj,1​⋮an,1​​a1,2​⋮aj,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮aj,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​+0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​⋮ai,1​⋮an,1​​a1,2​⋮ai,2​⋮an,2​​⋯⋱⋯⋱⋯​a1,n​⋮ai,n​⋮an,n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​​(可加性)(线性性)(不重性)​

转置不变性

任意一个 n×nn \times nn×n 的矩阵 AAA，满足 ∣AT∣=∣A∣|A^T| = |A|∣AT∣=∣A∣。ATA^TAT 表示矩阵 AAA 的转置，即 ai,j→aj,ia_{i, j} \to a_{j, i}ai,j​→aj,i​（换句话说，将 AAA 沿“左上 - 右下”对角线翻折即得到 ATA^TAT），下同。

证明：
对于一个排列 ppp，根据转置的定义，令 ξ(p)=q(qpi=i)\xi(p) = q\ (q_{p_i} = i)ξ(p)=q (qpi​​=i)，那么 λA(p)=λAT(ξ(p))\lambda_A(p) = \lambda_{A^T}(\xi(p))λA​(p)=λAT​(ξ(p))。考虑 τ(p)\tau(p)τ(p) 和 τ(ξ(p))\tau(\xi(p))τ(ξ(p)) 的关系：
把 Ai,pi(1≤i≤n)A_{i, p_i}\ (1 \leq i \leq n)Ai,pi​​ (1≤i≤n) 记做特殊点，令 Tp(i)\Tau_p(i)Tp​(i) 表示 Ai,piA_{i, p_i}Ai,pi​​ 的左下方的特殊点数量，Tp′(i)\Tau'_p(i)Tp′​(i) 表示Ai,piA_{i, p_i}Ai,pi​​ 的右上方的特殊点数量，则 τ(p)=∑i=1nTp(i)=∑i=1nTp′(i)\tau(p) = \sum_{i = 1}^{n} \Tau_p(i) = \sum_{i = 1}^{n} \Tau'_p(i)τ(p)=∑i=1n​Tp​(i)=∑i=1n​Tp′​(i)，由于是沿对角线翻折，所以显然 Tp(i)=Tq′(i)\Tau_p(i) = \Tau'_q(i)Tp​(i)=Tq′​(i)（事实上只是把“左下方”的特殊点变到“右上方”，“右上方”变到“左下方”），于是 τ(p)=τ(q)\tau(p) = \tau(q)τ(p)=τ(q)。
因此 λA(p)=λAT(ξ(p))\lambda_A(p) = \lambda_{A^T}(\xi(p))λA​(p)=λAT​(ξ(p))，得证。

可交换性

行可交换性

矩阵两行交换，矩阵的行列式值反号。

证明：
交换 AAA 的两行 u,vu, vu,v 可视为将 vvv 行加到 uuu 行上（①）得到一个新矩阵 A′A'A′，再从 A′A'A′ 的 vvv 行上减去 A′A'A′ 的 uuu 行（②），再将 A′A'A′ 的 uuu 行全部取反（③）。根据可倍加性，① 和 ② 均不改变行列式的值，根据可乘性，③ 操作使行列式的值反号，得证。

列可交换性

矩阵两列交换，矩阵行列式值反号。

证明：
根据转置不变性，先转置再用行可交换性交换两行，再转置回来即证。

优化行列式的计算

对矩阵 AAA 的第一行进行拉普拉斯展开可以证明：当 AAA 为一个上三角矩阵（即任意 i>ji > ji>j，满足 ai,j=0a_{i, j} = 0ai,j​=0）时：∣A∣=∏i=1nai,i|A| = \prod_{i = 1}^{n} a_{i, i}∣A∣=i=1∏n​ai,i​ 发现高斯消元用到的是可倍加性、可交换性，于是我们对 AAA 高斯消元，可以得到一个上三角矩阵，这个矩阵的对角线乘积即为 AAA 的行列式的绝对值（可交换性会使其反号）！于是我们做到了 O(n3)O(n^3)O(n3) 求行列式的值。

矩阵树定理

前置定义

对于一个无向图 G=(V,E)G = (V, E)G=(V,E)，其中 ∣V∣=n|V| = n∣V∣=n（点数），∣E∣=m|E| = m∣E∣=m（边数）：

• 给 GGG 的每条边任意分配一个方向，则它的关联矩阵（大小为 m×nm \times nm×n） BBB：bi,j={1点j是边i的起点−1点j是边i的终点0其他b_{i, j} = \begin{cases} 1 & 点\ j\ 是边\ i\ 的起点 \\ -1 & 点\ j\ 是边\ i\ 的终点 \\ 0 & 其他\end{cases}bi,j​=⎩⎪⎨⎪⎧​1−10​点 j 是边 i 的起点点 j 是边 i 的终点其他​
• GGG 的基尔霍夫矩阵（大小为 n×nn \times nn×n）LLL：li,j={dii=j−ei,ji≠jl_{i, j} = \begin{cases} d_i & i = j \\ -e_{i, j} & i \neq j\end{cases}li,j​={di​−ei,j​​i=ji​=j​ （其中 did_idi​ 表示 iii 号点的度，ei,je_{i, j}ei,j​ 连接点 i,ji, ji,j 的边的数量）

一些引理

转置引理

L=BBTL = BB^TL=BBT L,B,BTL, B, B^TL,B,BT 定义如上，乘法是矩阵乘法。

证明：
按照矩阵乘法的规则展开即证。
事实上如果定义两个序列相乘的结果是对应位置的乘积之和的话，矩阵乘法将 BBB 的列两两相乘得到了一个新矩阵，这个矩阵就是 LLL。

连通性引理

引理 1

若 GGG 是一个连通图，那么 ∣L∣=0|L| = 0∣L∣=0。

证明：
若 GGG 是连通图，那么根据定义 LLL 的每一列的元素之和都为 000，再根据可倍加性，将其他所有行加到某一行上，这一行的元素就全部为零，再对这一行进行拉普拉斯展开，得到 ∣L∣=0|L| = 0∣L∣=0。

引理 2

若 GGG 不连通，则对任意 1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n，∣Li,i∣=0|L_{i, i}| = 0∣Li,i​∣=0。

证明：
根据行列可交换性，我们将同一联通块的点换到一起，得到的新矩阵 L′L'L′ 满足 ∣det⁡L′∣=∣det⁡L∣|\det L'| = |\det L|∣detL′∣=∣detL∣，并且 L′L'L′ 长这个样子：(A100⋯00A20⋯000A3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯Ak)\begin{pmatrix} A_1 & \bold{0} & \bold{0} & \cdots & \bold{0} \\ \bold{0} & A_2 & \bold{0} & \cdots & \bold{0} \\ \bold{0} & \bold{0} & A_3 & \cdots & \bold{0} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bold{0} & \bold{0} & \bold{0} & \cdots & A_k\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​A1​00⋮0​0A2​0⋮0​00A3​⋮0​⋯⋯⋯⋱⋯​000⋮Ak​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​（0\bold{0}0 代表零矩阵，kkk 是联通块的个数）
由于 GGG 不连通，所以 k≥2k \geq 2k≥2，所以 Li,iL_{i, i}Li,i​ 至少包含一个 Ax(1≤x≤k)A_x (1 \leq x \leq k)Ax​(1≤x≤k)。因为 AxA_xAx​ 是一个独立连通子图，所以 AxA_xAx​ 可以经过适当操作使得其对角线上某个元素为 000，进而 ∣Li,i∣=0|L_{i, i}| = 0∣Li,i​∣=0。

引理 3

若 GGG 是一个树，则对任意 1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n，∣det⁡Li,i∣=1|\det L_{i, i}| = 1∣detLi,i​∣=1。

证明：
将这个树的结点拓扑排序，使得对于任意点 iii，去除掉所有 1∼i−11 \sim i - 11∼i−1 的点后 iii 的度数为 111，这可以通过不断“摘掉”叶子结点实现。然后以这个顺序整理矩阵 LLL 的各行得到 L′L'L′，我们对 L′L'L′ 模拟高斯消元的过程：
假设当前到了第 iii 行。没有消元时，由于我们拓扑排序了，那么 li,i′l'_{i, i}li,i′​ 右边（“右边”指所有 li,j′(j>i)l'_{i, j}\ (j > i)li,j′​ (j>i)，“左边”“上面”“下面”同理）和下面有且仅有 111 个 −1-1−1，左边和上面有且仅有 li,i′−1l'_{i, i} - 1li,i′​−1 个 −1-1−1；由于我们用前 i−1i - 1i−1 行消掉了 li,i′l'_{i, i}li,i′​ 前面的 li,i′−1l'_{i, i} - 1li,i′​−1 个 −1-1−1， 并且 li,i′l'_{i, i}li,i′​ 上面有 li,i′−1l'_{i, i} - 1li,i′​−1 个 −1-1−1，于是 li,i′l'_{i, i}li,i′​ 被加了 li,i′−1l'_{i, i} - 1li,i′​−1 个 −1-1−1，就变成了 111。
按这样高斯消元下去，最后一个元素（ln,n′l'_{n, n}ln,n′​） 肯定是 000。但我们要求的是 ∣Li,i∣=∣Li,i′∣|L_{i, i}| = |L'_{i, i}|∣Li,i​∣=∣Li,i′​∣，它是 L′L'L′ 删去了一行一列，因此 Li,i′L'_{i, i}Li,i′​ 消元过后的最后一个（ln−1,n−1′′l''_{n - 1, n - 1}ln−1,n−1′′​）是 111。于是对角线上的元素全部是 111，得证。

Binet - Cauchy 定理

设 AAA 是一个 n×mn \times mn×m 的矩阵，BBB 是一个 m×nm \times nm×n 的矩阵，有 ∣AB∣={0n>m∣A∣⋅∣B∣n=m∑1≤k1<k2<⋯<kn≤m∣A(1,2,⋯,n;k1,k2,⋯,kn)∣⋅∣B(k1,k2,⋯,kn;1,2,⋯,n)∣n<m|AB| = \begin{cases} 0 & n > m \\ |A| \cdot |B| & n = m\\ \sum\limits_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_n \leq m} |A(1, 2, \cdots, n; k_1, k_2, \cdots, k_n)| \cdot |B(k_1, k_2, \cdots, k_n; 1, 2, \cdots, n)| & n < m \end{cases}∣AB∣=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​0∣A∣⋅∣B∣1≤k1​<k2​<⋯<kn​≤m∑​∣A(1,2,⋯,n;k1​,k2​,⋯,kn​)∣⋅∣B(k1​,k2​,⋯,kn​;1,2,⋯,n)∣​n>mn=mn<m​ （A(1,2,⋯,n;k1,k2,⋯,kn)A(1, 2, \cdots, n; k_1, k_2, \cdots, k_n)A(1,2,⋯,n;k1​,k2​,⋯,kn​) 表示由 AAA 的第 k1,k2,⋯,knk_1, k_2, \cdots, k_nk1​,k2​,⋯,kn​ 列组成的矩阵；B(k1,k2,⋯,kn;1,2,⋯,n)B(k_1, k_2, \cdots, k_n; 1, 2, \cdots, n)B(k1​,k2​,⋯,kn​;1,2,⋯,n) 表示由 BBB 的第 k1,k2,⋯,knk_1, k_2, \cdots, k_nk1​,k2​,⋯,kn​ 行组成的矩阵）

证明：
我们构造两个辅助矩阵：M=(A0−IB),N=(0AB−IB)M = \begin{pmatrix} A & \bold{0} \\ -I & B\end{pmatrix},\ \ N = \begin{pmatrix} \bold{0} & AB \\ -I & B\end{pmatrix}M=(A−I​0B​),  N=(0−I​ABB​) 其中 III 是单位矩阵（“左上 - 右下”对角线为 111 的矩阵）可以发现 ∣M∣=∣N∣|M| = |N|∣M∣=∣N∣，证明如下：
枚举 MMM 矩阵的第 i(n+1≤i≤n+m)i\ (n + 1 \leq i \leq n + m)i (n+1≤i≤n+m) 行，然后将第 iii 行乘以 ak1a_{k_1}ak1​​ 后加到第 111 行，乘以 ak2a_{k_2}ak2​​ 后加到第 222 行，……，乘以 akna_{k_n}akn​​ 后加到第 nnn 行。这样操作完后，根据矩阵乘法的定义，MMM 变为了 NNN，又因为倍加不变性，∣M∣=∣N∣|M| = |N|∣M∣=∣N∣。
用定义式计算 ∣N∣|N|∣N∣，由于只要 ppp 选到 0\bold{0}0 中的元素 λN(p)\lambda_N(p)λN​(p) 就为 000，所以只考虑 p1,p2,⋯,pn∈[m+1,m+n]p_1, p_2, \cdots, p_n \in [m + 1, m + n]p1​,p2​,⋯,pn​∈[m+1,m+n] 的情况，又因为 ABABAB 是个 n×nn \times nn×n 的矩阵，所以 pn+1,pn+2,⋯,pn+m∈[1,m]p_{n + 1}, p_{n + 2}, \cdots, p_{n + m} \in [1, m]pn+1​,pn+2​,⋯,pn+m​∈[1,m]，所以 ∣N∣=∣AB∣⋅∣−I∣=(−1)m∣AB∣|N| = |AB| \cdot |-I| = (-1)^m |AB|∣N∣=∣AB∣⋅∣−I∣=(−1)m∣AB∣
接下来分类计算 ∣M∣|M|∣M∣，并证明该定理：

• 当 n>mn > mn>m 时（图中 C=ABC = ABC=AB，下同）：
  
  用定义式计算 MMM，发现排列 ppp 无论如何取都会取到 0\bold{0}0 中的元素（原因就是 n>mn > mn>m），因此 ∣M∣=0|M| = 0∣M∣=0，即 (−1)m∣AB∣=0(-1)^m |AB| = 0(−1)m∣AB∣=0，即 ∣AB∣=0|AB| = 0∣AB∣=0。
• 当 n=mn = mn=m 时：
  
  用定义式计算 MMM，显然只有 p1,p2,⋯,pn∈[1,n]p_1, p_2, \cdots, p_n \in [1, n]p1​,p2​,⋯,pn​∈[1,n] 且 pn+1,pn+2,⋯,pn+m∈[n+1,n+m]p_{n + 1}, p_{n + 2}, \cdots, p_{n + m} \in [n + 1, n + m]pn+1​,pn+2​,⋯,pn+m​∈[n+1,n+m] 时 λM(p)\lambda_M(p)λM​(p) 不为 000，于是 ∣M∣=∣A∣⋅∣B∣⋅(−1)n2|M| = |A| \cdot |B| \cdot (-1)^{n^2}∣M∣=∣A∣⋅∣B∣⋅(−1)n2 其中 (−1)n2(-1)^{n^2}(−1)n2 即为分开计算 A,BA, BA,B 将两者的排列合起来新形成的逆序对数。因而 ∣A∣⋅∣B∣⋅(−1)n2=∣AB∣⋅(−1)m|A| \cdot |B| \cdot (-1)^{n^2} = |AB| \cdot (-1)^m∣A∣⋅∣B∣⋅(−1)n2=∣AB∣⋅(−1)m，于是 ∣A∣∣B∣=∣AB∣(−1)m−n2=∣AB∣(−1)n−n2=∣AB∣|A||B| = |AB|(-1)^{m - n^2} = |AB|(-1)^{n - n^2} = |AB|∣A∣∣B∣=∣AB∣(−1)m−n2=∣AB∣(−1)n−n2=∣AB∣
• 当 n<mn < mn<m 时：
  
  这时候我们枚举 k1,k2,⋯,kn∈[1,m]k_1, k_2, \cdots, k_n \in [1, m]k1​,k2​,⋯,kn​∈[1,m]（就是定理中的 k1,k2,⋯,knk_1, k_2, \cdots, k_nk1​,k2​,⋯,kn​）表示在 AAA 的各行中选的元素。为了使 λM(p)≠0\lambda_M(p) \neq 0λM​(p)​=0，−I-I−I 中就只能选对角线上的元素，又因为 AAA 中选的元素的正下方的那个 −1-1−1 肯定不能选（因为ppp 是排列），所以在 BBB 被选了元素的行一定和 AAA 被选了元素的列一样。举个例子，假设 n=3n = 3n=3，红色是 A/BA\ /\ BA / B 中含有被选中元素的列 /// 行。
  
  这样一来 ∣A(1,2,⋯,n;k1,k2,⋯,kn)∣|A(1, 2, \cdots, n;k_1, k_2, \cdots, k_n)|∣A(1,2,⋯,n;k1​,k2​,⋯,kn​)∣ 的那些排列就和 ∣B(k1,k2,⋯,kn;1,2,⋯,n)∣|B(k_1, k_2, \cdots, k_n; 1, 2, \cdots, n)|∣B(k1​,k2​,⋯,kn​;1,2,⋯,n)∣ 的那些排列形成了一一对应的函数关系，于是∣M∣=∑1≤k1<k2<⋯<kn≤m∣A(1,2,⋯,n;k1,k2,⋯,kn)∣⋅∣B(k1,k2,⋯,kn;1,2,⋯,n)∣⋅(−1)m−n+x|M| = \sum\limits_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_n \leq m} |A(1, 2, \cdots, n; k_1, k_2, \cdots, k_n)| \cdot |B(k_1, k_2, \cdots, k_n; 1, 2, \cdots, n)| \cdot (-1)^{m - n + x}∣M∣=1≤k1​<k2​<⋯<kn​≤m∑​∣A(1,2,⋯,n;k1​,k2​,⋯,kn​)∣⋅∣B(k1​,k2​,⋯,kn​;1,2,⋯,n)∣⋅(−1)m−n+x 其中 (−1)m−n(-1)^{m - n}(−1)m−n 是 −I-I−I 的贡献， xxx 是“新构成”的逆序对个数，所谓新构成，就是三部分的逆序对个数之和：−I-I−I 与 AAA、−I-I−I 与 BBB、AAA 与 BBB。由于枚举出的东西关于对角线对称，所以−I-I−I 与 AAA 之间的逆序对数等于 −I-I−I 与 BBB 之间的逆序对数，于是 xxx 可以转化为 AAA 与 BBB 之间的逆序对数，即 n2n^2n2。于是 ∣M∣=∑1≤k1<k2<⋯<kn≤m∣A(1,2,⋯,n;k1,k2,⋯,kn)∣⋅∣B(k1,k2,⋯,kn;1,2,⋯,n)∣⋅(−1)m−n+x=∑1≤k1<k2<⋯<kn≤m∣A(1,2,⋯,n;k1,k2,⋯,kn)∣⋅∣B(k1,k2,⋯,kn;1,2,⋯,n)∣⋅(−1)m−n+n2=∣AB∣(−1)m\begin{aligned} |M| &= \sum\limits_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_n \leq m} |A(1, 2, \cdots, n; k_1, k_2, \cdots, k_n)| \cdot |B(k_1, k_2, \cdots, k_n; 1, 2, \cdots, n)| \cdot (-1)^{m - n + x} \\ &= \sum\limits_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_n \leq m} |A(1, 2, \cdots, n; k_1, k_2, \cdots, k_n)| \cdot |B(k_1, k_2, \cdots, k_n; 1, 2, \cdots, n)| \cdot (-1)^{m - n + n^2} \\ &= |AB| (-1)^m \end{aligned}∣M∣​=1≤k1​<k2​<⋯<kn​≤m∑​∣A(1,2,⋯,n;k1​,k2​,⋯,kn​)∣⋅∣B(k1​,k2​,⋯,kn​;1,2,⋯,n)∣⋅(−1)m−n+x=1≤k1​<k2​<⋯<kn​≤m∑​∣A(1,2,⋯,n;k1​,k2​,⋯,kn​)∣⋅∣B(k1​,k2​,⋯,kn​;1,2,⋯,n)∣⋅(−1)m−n+n2=∣AB∣(−1)m​ 于是 ∣AB∣=∑1≤k1<k2<⋯<kn≤m∣A(1,2,⋯,n;k1,k2,⋯,kn)∣⋅∣B(k1,k2,⋯,kn;1,2,⋯,n)∣⋅(−1)n2−n=∑1≤k1<k2<⋯<kn≤m∣A(1,2,⋯,n;k1,k2,⋯,kn)∣⋅∣B(k1,k2,⋯,kn;1,2,⋯,n)∣\begin{aligned} |AB| &= \sum\limits_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_n \leq m} |A(1, 2, \cdots, n; k_1, k_2, \cdots, k_n)| \cdot |B(k_1, k_2, \cdots, k_n; 1, 2, \cdots, n)| \cdot (-1)^{n^2 - n} \\ &= \sum\limits_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_n \leq m} |A(1, 2, \cdots, n; k_1, k_2, \cdots, k_n)| \cdot |B(k_1, k_2, \cdots, k_n; 1, 2, \cdots, n)| \end{aligned}∣AB∣​=1≤k1​<k2​<⋯<kn​≤m∑​∣A(1,2,⋯,n;k1​,k2​,⋯,kn​)∣⋅∣B(k1​,k2​,⋯,kn​;1,2,⋯,n)∣⋅(−1)n2−n=1≤k1​<k2​<⋯<kn​≤m∑​∣A(1,2,⋯,n;k1​,k2​,⋯,kn​)∣⋅∣B(k1​,k2​,⋯,kn​;1,2,⋯,n)∣​

定理得证。

该证明参考了 Freopen 大佬的博客，详见参考资料。同样百度百科上有个很线代看不懂的证明。

矩阵树定理

对于 nnn 个点 mmm 条边的无向图 GGG 以及任意一个 1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n，∣Lii∣|L_{ii}|∣Lii​∣ 即为它的生成树个数。

证明：
由转置引理 ∣Li,i∣=∣Bi,iBi,iT∣|L_{i, i}| = |B_{i, i} B_{i, i}^T|∣Li,i​∣=∣Bi,i​Bi,iT​∣ 因为 Bi,i,Bi,iTB_{i, i}, B_{i, i}^TBi,i​,Bi,iT​ 分别是大小为 (n−1)×(m−1),(m−1)×(n−1)(n - 1) \times (m - 1), (m - 1) \times (n - 1)(n−1)×(m−1),(m−1)×(n−1) 的矩阵，所以由 Binet - Cauchy 定理得 ∣Li,i∣=∣Bi,iBi,iT∣=∑1≤k1<k2<⋯<kn−1≤m∣Bi,i(1,2,⋯,n−1;k1,k2,⋯,kn−1)∣⋅∣Bi,iT(k1,k2,⋯,kn−1;1,2,⋯,n−1)∣|L_{i, i}| = |B_{i, i} B_{i, i}^T| = \sum_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_{n - 1} \leq m} |B_{i, i}(1, 2, \cdots, n - 1; k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1})| \cdot |B_{i, i}^T(k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1}; 1, 2, \cdots, n - 1)|∣Li,i​∣=∣Bi,i​Bi,iT​∣=1≤k1​<k2​<⋯<kn−1​≤m∑​∣Bi,i​(1,2,⋯,n−1;k1​,k2​,⋯,kn−1​)∣⋅∣Bi,iT​(k1​,k2​,⋯,kn−1​;1,2,⋯,n−1)∣ 由于 Bi,i(1,2,⋯,n−1;k1,k2,⋯,kn−1)=Bi,iT(k1,k2,⋯,kn−1;1,2,⋯,n−1)B_{i, i}(1, 2, \cdots, n - 1; k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1}) = B_{i, i}^T(k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1}; 1, 2, \cdots, n - 1)Bi,i​(1,2,⋯,n−1;k1​,k2​,⋯,kn−1​)=Bi,iT​(k1​,k2​,⋯,kn−1​;1,2,⋯,n−1)，所以 ∣Li,i∣=∣Bi,iBi,iT∣=∑1≤k1<k2<⋯<kn−1≤m∣Bi,i(1,2,⋯,n−1;k1,k2,⋯,kn−1)∣⋅∣Bi,iT(k1,k2,⋯,kn−1;1,2,⋯,n−1)∣=∑1≤k1<k2<⋯<kn−1≤m∣Bi,i(1,2,⋯,n−1;k1,k2,⋯,kn−1)∣2\begin{aligned} |L_{i, i}| = |B_{i, i} B_{i, i}^T| &= \sum_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_{n - 1} \leq m} |B_{i, i}(1, 2, \cdots, n - 1; k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1})| \cdot |B_{i, i}^T(k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1}; 1, 2, \cdots, n - 1)| \\ &= \sum_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_{n - 1} \leq m} |B_{i, i}(1, 2, \cdots, n - 1; k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1})|^2 \end{aligned}∣Li,i​∣=∣Bi,i​Bi,iT​∣​=1≤k1​<k2​<⋯<kn−1​≤m∑​∣Bi,i​(1,2,⋯,n−1;k1​,k2​,⋯,kn−1​)∣⋅∣Bi,iT​(k1​,k2​,⋯,kn−1​;1,2,⋯,n−1)∣=1≤k1​<k2​<⋯<kn−1​≤m∑​∣Bi,i​(1,2,⋯,n−1;k1​,k2​,⋯,kn−1​)∣2​ 由关联矩阵的定义可知，B′=Bi,i(1,2,⋯,n−1;k1,k2,⋯,kn−1)B' = B_{i, i}(1, 2, \cdots, n - 1; k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1})B′=Bi,i​(1,2,⋯,n−1;k1​,k2​,⋯,kn−1​) 就是由图 GGG 的边 k1,k2,⋯,kn−1k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1}k1​,k2​,⋯,kn−1​ 构成的子图 G′G'G′ 的关联矩阵。由连通性引理二得，当 G′G'G′ 不连通时，∣B′∣=0|B'| = 0∣B′∣=0；由连通性引理三得，当 G′G'G′ 是树时，∣det⁡B′∣=1|\det B'| = 1∣detB′∣=1，因此 ∣Bi,i(1,2,⋯,n−1;k1,k2,⋯,kn−1)∣2=1|B_{i, i}(1, 2, \cdots, n - 1; k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1})|^2 = 1∣Bi,i​(1,2,⋯,n−1;k1​,k2​,⋯,kn−1​)∣2=1 当且仅当由图 GGG 的边 k1,k2,⋯,kn−1k_1, k_2, \cdots, k_{n - 1}k1​,k2​,⋯,kn−1​ 构成的子图是树，得证。

参考资料

Matrix - Tree 定理（生成树计数）的另类证明和简单拓展 - MoebiusMeow
矩阵树定理 - Freopen
Matrix - Tree 矩阵树定理 - Lucky_Glass
拉普拉斯展开 - 百度百科
Binet - Cauchy 定理 - 百度百科

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