一、离散时间系统因果性

① 离散时间系统因果性 :

" 离散时间系统 " nnn 时刻的 " 输出 " ,

只取决于 nnn 时刻及 nnn 时刻之前的 " 输入序列 " ,

与 nnn 时刻之后的 " 输入序列 " 无关 ;

离散时间系统的 " 输出结果 " 与 " 未来输入 " 无关 ;

" ② 离散时间系统因果性 " 的充分必要条件是 :

h(n)=0n<0h(n) = 0 \ \ n < 0h(n)=0 n<0

模拟系统的 " 单位冲激响应 " , 必须从 000 时刻开始才有值 , 是 " 单边序列 " 类型中的 " 右边序列 " , 000 时刻的值也就是起点不能为 000 ;

二、充要条件证明

1、充分性证明

如果 h(n)=0n<0h(n) = 0 \ \ n < 0h(n)=0 n<0 成立 , 则离散时间系统具有 " 因果性 " ;

线性时不变 LTI 系统 , 有

y(n)=∑m=−∞+∞x(m)h(n−m)y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m)y(n)=m=−∞∑+∞x(m)h(n−m)

h(n)=0n<0h(n) = 0 \ \ n < 0h(n)=0 n<0 成立的话 , 在 n<0n < 0n<0 时 , h(n)=0h(n) = 0h(n)=0 ;

如果在 m>nm > nm>n 时 , n−m<0n - m < 0n−m<0 , h(n−m)=0h(n - m) = 0h(n−m)=0 ,

y(n)y(n)y(n) 只与 m≤nm \leq nm≤n 时有关 , 只有在该情况 ( m≤nm \leq nm≤n ) 下 , h(n−m)≠0h(n - m) \not= 0h(n−m)=0 , y(n)y(n)y(n) 才有实际意义 ;

y(n)y(n)y(n) 的计算公式为 :

y(n)=∑m=−∞nx(m)h(n−m)y(n) = \sum^{n}_{m = -\infty} x(m) h(n-m)y(n)=m=−∞∑nx(m)h(n−m)

2、必要性证明

如果离散时间系统具有 " 因果性 " , 则在 n<0n < 0n<0 时有 h(n)=0h(n) = 0h(n)=0 ;

使用反证法证明 , 首先假设当 n<0n < 0n<0 时 , h(n)≠0h(n) \not= 0h(n)=0 ;

当 m>nm > nm>n 时 , h(n−m)≠0h(n - m) \not= 0h(n−m)=0 ,

y(n)=∑m=−∞nx(m)h(n−m)+∑m=n+1∞x(m)h(n−m)y(n) =\sum^{n}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) + \sum^{\infty}_{m = n + 1} x(m) h(n-m)y(n)=m=−∞∑nx(m)h(n−m)+m=n+1∑∞x(m)h(n−m)

上面式子中的 ∑m=n+1∞x(m)h(n−m)\sum^{\infty}_{m = n + 1} x(m) h(n-m)∑m=n+1∞x(m)h(n−m) 项不为 000 ,

该 LTI 系统的输出 y(n)y(n)y(n) 与 m>nm > nm>n 时的 x(m)x(m)x(m) 相关 ,

因此系统是 " 非因果的 " , 假设不成立 ;

结论 : 如果离散时间系统具有 " 因果性 " , 在 n<0n < 0n<0 时一定有 h(n)=0h(n) = 0h(n)=0 ;

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