一、系统因果性与稳定性示例一

判断系统的因果性与稳定性 :

y(n)=1N∑k=0N−1x(n−k)y(n) = \cfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}x(n-k)y(n)=N1k=0∑N−1x(n−k)

因果性 : " 离散时间系统 " nnn 时刻的 " 输出 " , 只取决于 nnn 时刻及 nnn 时刻之前的 " 输入序列 " , 与 nnn 时刻之后的 " 输入序列 " 无关 ;

稳定性 : 如果 " 输入序列 " 有界 , 则 " 输出序列 " 也有界 ;

因果性证明 :

由于 kkk 的取值范围是 [0,N−1][0, N-1][0,N−1] 区间 ,

y(n)y(n)y(n) 与 x(n),x(n−1),⋯,x(n−N+1)x(n) , x(n-1) , \cdots , x(n - N + 1)x(n),x(n−1),⋯,x(n−N+1) 有关 ;

也就是 y(n)y(n)y(n) 只与nnn 时刻以及 nnn 时刻之前的 " 输入序列 " 有关 ,

因此 , 该系统具有 " 因果性 " ;

稳定性证明 :

如果 ∣x(n)∣≤B|x(n)| \leq B∣x(n)∣≤B , 是有界的 ,

则有 ∣y(n)∣≤1N×NB=B|y(n)| \leq \cfrac{1}{N} \times NB = B∣y(n)∣≤N1×NB=B , 求和的结果也是有界的 ,

∑h(n)<∞\sum h(n) < \infty∑h(n)<∞ 就是不可和的 ;

因此 , 该系统具有 " 稳定性 " ;

二、系统因果性与稳定性示例二

判断系统的因果性与稳定性 :

y(n)=ex(n)y(n) = e^{x(n)}y(n)=ex(n)

因果性 : " 离散时间系统 " nnn 时刻的 " 输出 " , 只取决于 nnn 时刻及 nnn 时刻之前的 " 输入序列 " , 与 nnn 时刻之后的 " 输入序列 " 无关 ;

稳定性 : 如果 " 输入序列 " 有界 , 则 " 输出序列 " 也有界 ;

因果性证明 :

y(n)y(n)y(n) 与 x(n)x(n)x(n) 有关 ;

也就是 y(n)y(n)y(n) 与 nnn 时刻以及 nnn 时刻之前的 " 输入序列 " 有关 , 更准确的说是只与 nnn 时刻的 x(n)x(n)x(n) 有关 ;

因此 , 该系统具有 " 因果性 " ;

稳定性证明 :

如果 ∣x(n)∣≤B|x(n)| \leq B∣x(n)∣≤B , 是有界的 ,

则有 ∣y(n)∣≤eB|y(n)| \leq e^B∣y(n)∣≤eB , 求和的结果也是有界的 ,

∑h(n)<∞\sum h(n) < \infty∑h(n)<∞ 就是不可和的 ;

因此 , 该系统具有 " 稳定性 " ;

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