替换法（代入法）求解递归式

一.原理

替换法（或者叫代入法）就是我们直接对T(n)进行猜测，然后带入原递归式中进行验证。也就是猜测一个界，然后使用数学归纳法来证明这个界是对的。

步骤{\color{Red}步骤}步骤 :

(1)猜测解的形式

(2)使用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的。

猜测要靠经验，偶尔还要靠创造力{\color{Blue}猜测要靠经验，偶尔还要靠创造力}猜测要靠经验，偶尔还要靠创造力

二.举例

现在有递归式如下：

我们首先对其进行猜测（这个最终结果算的好不好就看你猜的准不准了，有点玄学）：
T(n)=θ(nlogn)T(n) = \theta(nlogn) T(n)=θ(nlogn)
然后进行求解（在这里因为该式有两个区间，分别有不同的取值，所以我们使用数学归纳法）：

当 n = 3 时：有 c1∗3log3≤1≤c2∗3log3c_{1}*3log3≤1≤c_{2}*3log3 c1∗3log3≤1≤c2∗3log3解得 0<c1≤13log3,c2≥13log3{\color{Red} 0<c_{1}\le \frac{1}{3log3},c_{2}\ge\frac{1}{3log3}} 0<c1≤3log31,c2≥3log31

当小于n时：假设命题成立

当等于n时：带入可得T(n)=T(n4)+T(3n4)+n≤c2∗n4∗logn4+c2∗3n4∗log3n4+nT(n) = T(\frac{n}{4}) + T(\frac{3n}{4}) + n \le c_{2}*\frac{n}{4}*log\frac{n}{4} + c_{2}*\frac{3n}{4}*log\frac{3n}{4} + n T(n)=T(4n)+T(43n)+n≤c2∗4n∗log4n+c2∗43n∗log43n+n

对等式右边化简：（c2∗n4∗（logn−log4))+(c2∗3n4∗(logn−log43))+n（c_{2}*\frac{n}{4}*（logn-log4))+(c_{2}*\frac{3n}{4}*(logn-log\frac{4}{3}))+n（c2∗4n∗（logn−log4))+(c2∗43n∗(logn−log34))+n

展开合并得：c2nlogn−(c2n(log4−34log3))+nc_{2}nlogn-(c_{2}n(log4-\frac{3}{4}log3))+n c2nlogn−(c2n(log4−43log3))+n

将后面的n提取出来可得：c2nlogn−(c2(log4−34log3)−1)nc_{2}nlogn-(c_{2}(log4-\frac{3}{4}log3)-1)n c2nlogn−(c2(log4−43log3)−1)n

根据定义，需要使等式右边即上式 ≤ c₂nlogn

所以只需要让 (c2(log4−34log3)−1)n≥0(c_{2}(log4-\frac{3}{4}log3)-1)n \ge 0(c2(log4−43log3)−1)n≥0

解得：c2≥1log4−34log3>0{\color{Red} c_{2} \ge \frac{1}{log4-\frac{3}{4}log3} >0} c2≥log4−43log31>0

若想使 T(n)≤c2nlognT(n)≤c_{2}nlognT(n)≤c2nlogn
只需取他们中较大的值：c2≥max(1log4−34log3,13log3){\color{Red} c_{2} \ge max( \frac{1}{log4-\frac{3}{4}log3},\frac{1}{3log3} )} c2≥max(log4−43log31,3log31)

此时不等式右边的约束条件的参数c₂就取到了，同理我们可以解得不等式右边的约束变量c₁的取值：
0<c1≤min(1log4−34log3,13log3){\color{Red} 0<c_{1}\le min(\frac{1}{log4-\frac{3}{4}log3},\frac{1}{3log3})} 0<c1≤min(log4−43log31,3log31)

得证：T(n)=θ(nlogn)T(n)=\theta(nlogn) T(n)=θ(nlogn)