整理的算法模板合集： ACM模板

题目	算法
AcWing 1291. 轻拍牛头	求约数的个数
AcWing 1294. 樱花	求(n!)2(n!)^2(n!)2的约数的个数
AcWing 198. 反素数	通过分析元素性质发现可以直接dfs

一、约数个数

本节前半部分需要用到的知识：

由算数基本定理得正整数N可以写作N=p1C1×p2C2×p3C3⋯×pmCmN=p_1^{C_1}\times p_2^{C_2} \times p_3^{C_3} \cdots \times p_m^{C_m}N=p1C1×p2C2×p3C3⋯×pmCm

N的正约数个数为(ΠΠΠ是连乘积的符号，类似∑∑∑)

(c1+1)×(c2+1)×⋯(cm+1)=Πi=1m(ci+1)(c_1+1)\times (c_2+1)\times \cdots (c_m+1)=\Pi_{i=1}^{m}(ci+1)(c1+1)×(c2+1)×⋯(cm+1)=Πi=1m(ci+1)
N的所有正约数和为

(1+p1+p12+⋯+p1c1)×⋯×(1+pm+pm2+⋯+pmcm)=∏i=1m(∑j=0ci(pi)j)(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{c_1})\times\cdots\times(1+p_m+p_m^2+\cdots +p_m^{c_m})=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^j)(1+p1+p12+⋯+p1c1)×⋯×(1+pm+pm2+⋯+pmcm)=i=1∏m(j=0∑ci(pi)j)

1. AcWing 1291. 轻拍牛头

因为
如果我们分别求每个数的约数的个数，那么每次的时间复杂度至少是O(n)O(\sqrt n)O(n)的，所以我们没必要每次都一个一个求，我们正着直接求很难，那么我们就倒着求，我们类比线性筛的思路，如果对于一个数x而言，数d是x的约数，那么x一定是d的倍数，所以我们直接筛一遍倍数即可。时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

注意最后需要除去自己

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;const int N = 1000007;int n, m;
int a[N];
int primes[N];
int cnt[N];
int S[N];int main()
{scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; ++ i){scanf("%d", &a[i]);cnt[a[i]] ++ ;}for(int i = 1; i <= 1e6; ++ i){//nlognfor(int j = i; j <= 1e6; j += i){S[j] += cnt[i];}}for(int i = 1; i <= n; ++ i)printf("%d\n", S[a[i]] - 1);//除去它自己return 0;
}

2. AcWing 1294. 樱花

所以本题实际上转换成了求n!2n!^2n!2的约数的个数，我们根据公式，

由算数基本定理得正整数N可以写作N=p1C1×p2C2×p3C3⋯×pmCmN=p_1^{C_1}\times p_2^{C_2} \times p_3^{C_3} \cdots \times p_m^{C_m}N=p1C1×p2C2×p3C3⋯×pmCm

N的正约数个数为(ΠΠΠ是连乘积的符号，类似∑∑∑)

(c1+1)×(c2+1)×⋯(cm+1)=Πi=1m(ci+1)(c_1+1)\times (c_2+1)\times \cdots (c_m+1)=\Pi_{i=1}^{m}(ci+1)(c1+1)×(c2+1)×⋯(cm+1)=Πi=1m(ci+1)

求一个数的约数个数是分解质因数连乘，那么求一个数的阶乘的约数的个数实际上就是求1~n的每个数的约数个数的乘积。

因为n!2n!^2n!2太大了，所以我们引入一道题目：我们发现只需要将阶乘分解之后，所有质因子的指数的乘积的二倍既是答案。

2.1 AcWing 197. 阶乘分解

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1000010;int primes[N], cnt;
bool st[N];void init(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j ++ ){st[i * primes[j]] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}int main()
{int n;cin >> n;init(n);for (int i = 0; i < cnt; i ++ ){int p = primes[i];int s = 0;for (int j = n; j; j /= p) s += j / p;printf("%d %d\n", p, s);}return 0;
}

所以我们只需要在上述代码中稍作修改，累积的是每个质因子的指数的二倍即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>using namespace std;const int N = 1000007;
typedef long long ll;
ll mod = 1e9 + 7;ll n, m, cnt;
int primes[N];
bool vis[N];void get_primes(ll n)
{vis[0] = vis[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++ i){if(vis[i] == 0){primes[++ cnt] = i;}for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j){vis[i * primes[j]] = true;if(i % primes[j] == 0)break;}}
}int main(){scanf("%lld", &n);get_primes(n);ll res = 1;for(int i = 1; i <= cnt; ++ i){int p = primes[i];int sum = 0;for(int j = n; j; j /= p)sum += j / p;res = (res * (2 * sum + 1)) % mod;}cout << res % mod << endl;return 0;
}

3. AcWing 198. 反素数

很重要的一个解决问题的方法：找题目的性质！！！

如果没有思路的话，或者说数论的题目，所给的条件太少了，我们可以找一下题目中各各变量的性质！

所以我们直接爆搜即可。然后搜的过程中应用那三个我们发现的性质，其中这三个性质在之后的题目中用处也是非常大的。

//我们只用到了最多9个质因子，因为再多乘起来就大于1e9了，所以我们直接打表找到前9个质因子即可。
//我们需要找到的是约数个数最多的最小的数
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>using namespace std;const int N = 500007;
typedef long long ll;
int primes[9] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
int n, m;
int maxnum, number;
//使用的是第几个质数，最大次数，乘起来得到的x（反素数备选项），当前约数的个数（我们要找的是约数个数最多的最小的数）
void dfs(int cnt, int last_pow, int mul, int num)
{if(num > maxnum || (num == maxnum &&  mul < number)){maxnum = num;number = mul;}if(cnt == 9)return ;for(int i = 1; i <= last_pow; ++ i){//当前质因子的次数if((ll)primes[cnt] * mul > n) break;mul *= primes[cnt];//这个是要修改的dfs(cnt + 1, i, mul, num * (i + 1));//约数个数就是Π(ci + 1)}
}int main()
{scanf("%d", &n);dfs(0, 30, 1, 1);cout << number << endl;return 0;
}

4. AcWing 200. Hankson的趣味题

我的标程（能过原题）：
但是y总竟然造了一组数据把标程给卡T了…

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>using namespace std;const int N = 50007;
int n, m, t, ans;
int a, b, c, d;int read()
{int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch > '9' || ch < '0'){if(ch == '-')f = -1; ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}return x * f;
}int gcd(int a, int b)
{if(b == 0)return a;return gcd(b, a % b);
}int main()
{t = read();while(t -- ){ans = 0;a = read(), b = read(), c = read(), d = read();for(int x = 1, y; x * x <= d; ++ x){if(d % x == 0){if(gcd(x, a) == b && d * gcd(x, c) == x * c){ans ++ ;}if(x != d / x){y = d / x;if(gcd(y, a) == b && d * gcd(y, c) == y * c){ans ++ ;}}}}printf("%d\n", ans);}return 0;
}

%%%

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;const int N = 45000, M = 50;int primes[N], cnt;
bool st[N];PII factor[M];
int cntf;int divider[N], cntd;void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}void dfs(int u, int p)
{if (u > cntf){divider[cntd ++ ] = p;return;}for (int i = 0; i <= factor[u].second; i ++ ){dfs(u + 1, p);p *= factor[u].first;}
}int main()
{get_primes(N);int n;scanf("%d", &n);while (n -- ){int a0, a1, b0, b1;scanf("%d%d%d%d", &a0, &a1, &b0, &b1);int d = b1;cntf = 0;for (int i = 0; primes[i] <= d / primes[i]; i ++ ){int p = primes[i];if (d % p == 0){int s = 0;while (d % p == 0) s ++, d /= p;factor[ ++ cntf] = {p, s};}}if (d > 1) factor[ ++ cntf] = {d, 1};cntd = 0;dfs(1, 1);int res = 0;for (int i = 0; i < cntd; i ++ ){int x = divider[i];if (gcd(x, a0) == a1 && (LL)x * b0 / gcd(x, b0) == b1){res ++ ;}}printf("%d\n", res);}return 0;
}

二、欧拉函数

线性筛筛欧拉函数的原理

1. AcWing 201. 可见的点

用线性筛筛欧拉函数即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<iostream>using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 500007, M = 1000007, INF = 0x3f3f3f3f;
const double inf = 1e100;
const double eps = 1e-8;
const int mod = 10007;int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool vis[N];void init(int n)
{phi[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++ i){if(!vis[i]){primes[ ++ cnt] = i;phi[i] = i - 1;}for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j){vis[i * primes[j]] = true;if(i % primes[j] == 0){//最小的质因子phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];break;}else phi[i *primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);}}}int n, m, t, kcase;int main()
{scanf("%d", &t);init(N - 1);while(t -- ){scanf("%d", &n);ll ans = 0;for(int i = 1; i <= n; ++ i)ans += phi[i] * 2;printf("%d %d %lld\n",  ++ kcase, n, ans + 1);}return 0;
}

2. AcWing 220. 最大公约数

我们可以莫比乌斯反演！

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 10000007;int n, m;
int primes[N];
int phi[N];
int cnt;
bool vis[N];
ll sum[N];void init(int n)
{phi[1] = 0;//这里应该是0for(int i = 2; i <= n; ++ i){if(vis[i] == 0){primes[ ++ cnt] = i;phi[i] = i - 1;}for(int j = 1; j <= cnt && primes[j] * i <= n; ++ j){vis[i * primes[j]] = true;if(i % primes[j] == 0){phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];break;}phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);}}for(int i = 1; i <= n; ++ i)//求phi[n]的前缀和sum[i] = sum[i - 1] + phi[i];
}int main()
{scanf("%d", &n);init(n);ll ans = 0;for(int i = 1; i <= cnt; ++ i){int p = primes[i];ans += sum[n / p] * 2 + 1;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

P2398 GCD SUM
P4139 上帝与集合的正确用法

【数学专题】约数个数与欧拉函数相关推荐

1~n中与n互质数的个数（欧拉函数）
对于1~n中所有跟n互质的数的个数问题,我们会用欧拉函数来解决. 在开始讲欧拉函数之前,需要先了解质因数分解,传送门:http://t.csdn.cn/tqzvO.ok现在正式开始欧拉函数的推导. 以 ...
互质数的个数（欧拉函数）C/C++
欧拉函数 O(n)=n(1-1/P1)(1-1/P2)-(1-1/Pn) ,其中P1-Pn为n的质因子,求出来的结果就是题目所求. 不知道为社么这么写时间超限,下面那种方式写就能过. #include ...
【数论】【Polya定理】【枚举约数】【欧拉函数】【Java】poj2154 Color
你随便写一下出来,发现polya原理的式子里面好多gcd是相同的,gcd(n,i)=k可以改写成gcd(n/k,i/k)=1,也就是说指数为k的项的个数为phi(n/k),就很好求了,最后除的那个n直 ...
数学/数论专题：莫比乌斯函数与欧拉函数
数学/数论专题:莫比乌斯函数与欧拉函数(进阶) 0. 前言 1. 前置知识 2. 正文 3. 总结 4. 参考资料 0. 前言本篇文章会从狄利克雷卷积的角度,讨论莫比乌斯函数与欧拉函数的相关性质. ...
数学知识——欧拉函数
1. 欧拉函数定义:欧拉函数ψ(n) 表示1~n中与n互质的数的个数公式:如果一个数可以被分解质因式为N = p1α1 *p2α2--pkαk 则ψ(n) = n(1 - 1/p1)(1 - 1/ ...
欧拉函数——数学知识（c++）
定义:欧拉函数表示1-N中与N互质的数的个数: 给定一个数n,求在[1,n]这个范围内两两互质的数的个数对于这个范围内的每一个数,我们只要找到不超过这个数且与这个数互质的数的个数就可以了欧拉函数用 ...
数论 —— 欧拉函数
[定义] 对正整数 n,欧拉函数是小于等于 n 的数中与 n 互质的数的个数,记作: 例如:,因为 1.3.5.7 均与 8 互质. [性质] 1)若 n 为一素数 p,则: 2)若 n 为一素数 p ...
算法 {欧拉函数,欧拉定理,费马小定理}
欧拉函数定义 ϕ ( x ) , x ∈ N + \phi(x), \ \ x \in N^+ ϕ(x), x∈N+ means the number of y ∈ N + y \in N^+ y ...
费马定理中值定理_数论-欧拉函数、欧拉定理
欧拉函数积性函数满足 ( 互质) 定义对于正整数 ,欧拉函数是小于等于的所有数中与互质的数的个数. 欧拉函数是积性函数(这个证明不是很显然,这个链接里面有很多种证明方法) 记作: 公式 , ...

【数学专题】约数个数与欧拉函数

目录