【定义】

对正整数 n，欧拉函数是小于等于 n 的数中与 n 互质的数的个数，记作：

例如：，因为 1、3、5、7 均与 8 互质。

【性质】

1）若 n 为一素数 p，则：

2）若 n 为一素数 p 的幂次，则：

例如：要求，由于 16=2*2*2*2，故

3）若 n 为任意两个互质的数 a、b 的积，则：

例如：要求，由于 40=5*8，且 5、8 互质，所以

4）设为正整数 n 的素数幂乘积表达式，则：

5）若，则：

6）若，则：

7）前 n 个数的欧拉函数的和为：

【求法】

1.一般方法

求一个数 x 的欧拉函数

int Euler(int x)
{int res=x;for(int i=2;i<(int)sqrt(x*1.0)+1;i++){if(x%i==0){res=res/i*(i-1);while(x%i==0)/// 保证i一定是素数x/=i;}}if(x>1)res=res/x*(x-1);return res;
}

2.递推求法

打表取 1 到 N 的所有欧拉函数并存在数组 phi 中

int phi[N];
void Euler()
{for(int i=1;i<=N;i++)phi[i]=i;for(int i=2;i<=N;i+= 2)phi[i]/=2;for(int i=3;i<=N;i+= 2){if(phi[i]==i){for(int j=i;j<=N;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);}}
}

3.欧拉函数线性筛法

该算法可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。

如要求一个数的欧拉函数，可以用欧拉函数性质直接求出，但是如果要求前 n 个数的欧拉函数，可采用线性时间的方法筛选欧拉函数值，完成打表。

int phi[N],prime[N];
bool vis[N];
void Euler(int n)
{  int cnt=0;phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i])  {prime[++cnt]=i;//筛素数的时先判断i是否是素数  phi[i]=i-1;//当i是素数时phi[i]=i-1  }for(int j=1;j<=cnt;j++){if(i*prime[j]>n)break;vis[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数if(i%prime[j]==0)//看prime[j]是否是i的约数  {  phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;  } else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了欧拉函数的积性  }  }
}

【例题】

Relatives（POJ-2407）(一般求法)：点击这里
Farey Sequence（POJ-2478）(递推求法)：点击这里
Visible Lattice Points（POJ-3090）(线性筛法)：点击这里
小a与黄金街道（2019牛客寒假算法基础集训营 Day1-D）(一般求法+公式推导)：点击这里

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