2019 ICPC EC Finals C. Heretical … Möbius（中国剩余定理，序列检验）

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2018 ICPC EC Finals C. Heretical … Möbius

Weblink

https://codeforces.com/gym/102056/problem/C

Problem

给定长度为 200200200 的 010101 序列 ∣μ(i)∣|\ \mu(i)\ |∣ μ(i) ∣，找到符合的最小的起点 xxx，即 ∣μ(x)∣∼∣μ(x+199)∣|\ \mu(x)\ |\sim |\ \mu(x+199)\ |∣ μ(x) ∣∼∣ μ(x+199) ∣ 要求完全的给定的序列对照一致。

Solution

由于给定的是绝对值的 010101 串，所以只有 μ(i)=0\mu(i)=0μ(i)=0 有用，所以从这里出发考虑。

我们知道 μ(x)=0\mu(x)=0μ(x)=0 则 xxx 一定含有因子 p2p^2p2，而序列长度仅为 200200200 ，这好像在提示着我们些什么。我们知道 200200200 以内的因子 p2p^2p2 一共就只有 666 个，即：4,9,25,49,121,1694,9,25,49,121,1694,9,25,49,121,169。也就是说在一个长度为 200200200 的连续自然数序列里，所有 μ(i)=0\mu(i)=0μ(i)=0 的数，一定至少存在这 666 个 p2p^2p2 因子。所以就有了思路：

对于一个正确合法的起点 xxx ，在 x+{0∼3}x+\{0\sim 3\}x+{0∼3} 的范围内的数，一定存在 444 的倍数，即 xxx 模 444 的模数，也就是输入的序列为 000 。因为 {0∼3}\{0\sim 3\}{0∼3} 是 444 的简化剩余系，同理，对于其他的 555 个 p2p^2p2 因子同样成立。我们设 m={4,9,25,49,121,169}m=\{4,9,25,49,121,169\}m={4,9,25,49,121,169}，也就意味着我们就可以枚举每个因子的简化剩余系，一定能找到一个数 y=x+aiy=x+a_iy=x+ai，是 mim_imi 的倍数，即含有 mim_imi 这个 p2p^2p2 因子，即 x≡ai(modmi)x\equiv a_i(\mod m_i)x≡ai(modmi) 。至于如何判断枚举到的 iii 是否合法，我们可以枚举一下 ai+ki×mia_i+k_i\times m_iai+ki×mi 看该位置的字符串是否为 000 。这样我们就得到了 6 个同余方程 x≡ai(modmi)x\equiv a_i(\mod m_i)x≡ai(modmi)，可以直接用中国剩余定理得到一个解，这个解就是题目中想要求的一个解，我们判断一下这个解是否合法，并且答案要求的是最小的解，所以我们对于每一个解取 min⁡\minmin（如果当前解 vvv 不合法，那么就看下一个解 x+Mx+Mx+M 是否合法，以此类推）那么如何得到所有的可能的解呢？显然可以按照上面的思路，爆搜搜到 666 个 aia_iai ，然后 CRT 求一下解 vvv ，for 循环判断一下是否与题中输入的字符串完全相同即可。

最后需要判断一下输入的 μ\muμ 序列是否合法，也就是 (2004)=50∼87=(2004=50+2009=22+20025=8+20049=4+200121=2+200169=1)(\cfrac{200}{4})=50\sim 87=(\cfrac{200}{4}=50 + \cfrac{200}{9}=22 + \cfrac{200}{25}=8 + \cfrac{200}{49}=4 + \cfrac{200}{121}=2 + \cfrac{200}{169}=1 )(4200)=50∼87=(4200=50+9200=22+25200=8+49200=4+121200=2+169200=1) ，不然会 T 的很惨 …

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 600007, INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;
typedef int itn;
int t, n;
ll M = 1;
string str = " ";
string s;
int m[] = {0, 4, 9, 25, 49, 121, 169};
int cnt, primes[N];
//50 22 8 4 2 1 = 87
int a[N];
int ans = INF;
bool vis[N];void init(int n)
{for(int i = 2; i <= n; ++ i) {if(vis[i] == 0) primes[ ++ cnt] = i;for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j) {vis[i * primes[j]] = true;if(i % primes[j] == 0) break;}}
}inline int exgcd(itn a, int b, int& x, int& y)
{if(b == 0) {x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, x, y);int z = x;x = y;y = z - y * (a / b);return d;
}int CRT()
{int res = 0;int x, y, GCD;for(int i = 1; i <= 6; ++ i) {int Mi = M / m[i];int d = exgcd(Mi, m[i], x, y);x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];res = (res + 1ll * Mi * a[i] * x) % M;}return (res + M) % M;
}int mu(int v)
{for(int i = 1; i <= cnt && primes[i] * primes[i] <= v; ++ i) {if(v % (primes[i] * primes[i]) == 0) return 0; }return 1;
}bool check(itn v)
{for(int i = 1; i <= 200; ++ i) {if(mu(v + i - 1) != (str[i] - '0')) return false;}return true;
}bool judge(itn a, int p)
{itn x;if(a == 0) x = 1;else x = 1 - a + p;while(x <= 200) {if(str[x] != '0') return false;x += p;}return true;
}void dfs(int now)
{if(now == 7) {int v = CRT();if(v == 0) v = M;//cout << v << endl;while(v + 199 <= 1e9) {if(v > ans)break;if(check(v)) {ans = v;}v += M;}return ;}for(int i = 0; i < m[now]; ++ i) {if(judge(i, m[now])) {a[now] = i;dfs(now + 1);}}return ;
}itn main()
{init(1e5);for(int i = 1; i <= 6; ++ i) {M *= 1ll * m[i];}//cout << M << endl;for(int i = 1; i <= 10; ++i) {cin >> s;str += s;}//cout << str << endl;//cout << str.size() << endl;int cnt = 0;for(int i = 1; i <= 200; ++ i) {if(str[i] == '0')cnt ++ ;}//cout << cnt << endl;if(cnt < 50 || cnt > 88) {puts("-1");return 0;}dfs(1);//cout << ans << endl;if(ans == INF) {puts("-1");}else printf("%d\n", ans);return 0;
}

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