一、回文串、子串、子序列

" 回文串 ( Palindrome ) " 是正反都一样的字符串 , abccba , 001100 等字符串 ;

给定一个字符串 " abcd " ,

" 子串 ( SubString ) "是连续取的子字符串 , 如 : “ab” , “bc” , “cd” , “bcd” 等 , 不能跳跃字符 ; ( 连续字符 )

nnn 个字符串的子串个数是 n(n+1)2+1\cfrac{n(n+1)}{2} +12n(n+1)+1 个 ;

" 子序列 ( SubSequence ) " 是可以非连续取字符串中的字符 , 前后顺序不允许颠倒 , 如 “ad” , “bd” , “acd” 等 ; ( 非连续字符 )

nnn 个字符串的子串个数是 2n2^n2n 个 ( 集合的子集数 ) ;

验证一个字符串是否是回文串 , 最坏的情况下需要遍历 n2\cfrac{n}{2}2n 次 ;

因此最暴力的方法验证回文子串 , 就是验证 n(n+1)2+1\cfrac{n(n+1)}{2} +12n(n+1)+1 个子字符串是否是回文串 , 每次都要遍历 n2\cfrac{n}{2}2n 次 ;
暴力算法的时间复杂度是 O(n3)O(n^3)O(n3) ;

二、最长回文子串

问题链接 : https://www.lintcode.com/problem/200/description

给出一个字符串（假设长度最长为1000），求出它的最长回文子串，你可以假定只有一个满足条件的最长回文串。

1、动态规划算法

如果不使用中心线枚举算法 , 在蛮力算法的基础上 , 快速判定字符串是否是回文串 ;
使用基于动态规划的算法可以实现上述要求 ;

回文串存在特点 :
两种类型的回文串 “abba” , “abcba” , 正序和倒序是一样的 ;
回文串两头的字符相等 ;
回文串除去两头的两个字符 , 中间部分也是回文串 ;

字符串中 iii ~ jjj 之间的字符串是回文串 ;

则 i,ji, ji,j 字符相等 ,
并且 i+1i +1i+1 ~ j−1j - 1j−1 的字符串也是回文串 ;

iii ~ jjj 之间的字符串是否是回文串 , 依赖于 i+1i +1i+1 ~ j−1j - 1j−1 之间的字符串是否是回文串 ;
因此推导任意两个索引区间 i,ji, ji,j 之间的字符串是否是回文串时 ,

将 i,ji, ji,j 之间的字符串是否是回文串 , 存储在一个二维布尔数组中 ;

// 表示 n 个字符串中所有的字符索引之间是否是回文串
boolean [][] isPalindrome = new boolean[n][n];

isPalindrome[i][j] 表示 iii ~ jjj 之间的字符串是否是回文串 , 如果是回文串则设置为 true , 如果不是回文串则设置为 false ;

回文串判定条件 :

isPalindrome[i][j] = isPalindrome[i + 1][j - 1] && s.charAt(i) == s.charAt(j);

iii ~ jjj 之间的字符串是回文串 , 则 i+1i +1i+1 ~ j−1j - 1j−1 之间的字符串也是回文串 , 并且第 iii 个字符等于第 jjj 个字符 ;

动态规划 :

这种推导公式在动态规划中 , 称为状态转移方程 ;

isPalindrome 二维数组中每个元素都是一个状态 , 这个状态是以区间作为状态的标志 , 两个维度的值分别是区间的开始索引和结束索引 ;

这种类型的动态规划 , 又称为 区间型动态规划 ;

循环设计 :

iii ~ jjj 之间的字符串是否是回文串 , 依赖于 i+1i +1i+1 ~ j−1j - 1j−1 之间的字符串是否是回文串 ;

也就是 iii 依赖于 i+1i + 1i+1 , 循环时 , 不能正向循环 , 只能倒序循环 ;

先计算 iii 比较大的 , 再计算 iii 比较小的 ;

初始化操作 : 动态规划中初始化很重要 ;

这里要考虑公式的适用性 , 上述公式

isPalindrome[i][j] = isPalindrome[i + 1][j - 1] && s.charAt(i) == s.charAt(j);

公式中使用了 i+1i + 1i+1 , j−1j - 1j−1 , 为了保证公式成立 , 字符串的字符个数至少要有 222 个 ;

初始化时最好将空字符串 , 111 个字符组成的字符串的情况直接初始化赋值 ;

初始化单个字符字符串的状态 :

isPalindrome[i][i] 是第 iii 个字符到第 iii 个字符之间的单个字符是否是回文串 , 显然单个字符是回文串 ;

isPalindrome[i][i] = true

2、动态规划算法代码示例

代码示例 :

class Solution {/*** @param s: 输入字符串* @return: 返回最长回文子串*/public String longestPalindrome(String s) {if (s == null || "".equals(s)) {return null;}int n = s.length();boolean[][] isPalindrome = new boolean[n][n];int longest = 1;    // 最长长度int start = 0;      // 开始索引// 初始化操作, 长度为 1 的回文串for (int i = 0; i < n; i++) {isPalindrome[i][i] = true;}// 初始化操作, 长度为 2 的回文串for (int i = 0; i < n - 1; i ++) {if (s.charAt(i) == s.charAt(i + 1)) {isPalindrome[i][i + 1] = true;start = i;longest = 2;}else {isPalindrome[i][i + 1] = false;}}// 倒序遍历for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {// 从 i + 2 开始计算 , 之前 i , i + 1 都已经计算过了 , 从长度为 3 的区间开始计算// 注意此处如果 j >= n 时 , 不进入内层循环 // 只有在 j <= n - 1 时 , 才进入内层循环 for (int j = i + 2; j < n; j ++) {isPalindrome[i][j] = isPalindrome[i + 1][j - 1] && s.charAt(i) == s.charAt(j);if (isPalindrome[i][j] && j - i + 1 > longest) {start = i;longest = j - i + 1;}}}return s.substring(start, start + longest);}
}class Main {public static void main(String[] args) {String palindrome = new Solution().longestPalindrome("mabcban");System.out.println(palindrome);}
}

O(n2)O(n^2)O(n2) 时间复杂度算法;

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【字符串】最长回文子串 ( 动态规划算法 ) ★

文章目录

一、回文串、子串、子序列

二、最长回文子串

1、动态规划算法

2、动态规划算法代码示例

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