最长回文子串--动态规划

问题来源：最长回文子串

问题描述：给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

例子：
输入: “babad”
输出: “bab”
注意: “aba” 也是一个有效答案。

1. O(n3)O(n^3)O(n3)算法

最简单也是最直观的做法是暴力算法。通过两层遍历，我们可以选出所有可能的子串，然后判断该子串是否是回文。

class Solution:def longestPalindrome(self, s: str) -> str:max_huiwen = ''for i in range(len(s)):for j in range(i+1, len(s)+1):# 判断s[i:j]是否是回文ss = s[i:j]if ss == ss[::-1]:if len(max_huiwen) < len(ss):max_huiwen = ssreturn max_huiwen

这种算法注定用时最长，可能超时。

2. O(n2)O(n^2)O(n2)算法

暴力算法实际上重复判断了很多子串，比如，我们判断“abcba”是否为回文，我们不但判断子串“abcba”是否为回文，也判断子串“bcb”是否为回文。实际上，我们在判断子串“bcb”是回文之后，应该保留这种信息，然后判断子串“abcba”是否为回文。

我们需要判断每个较小的子串是否为回文，基于此，我们进一步判断较长子串是否为回文。

动态规划适用条件是，该问题较大规模问题可以由较小问题解决，以及该问题有最优子结构，也就是说，该问题的最优解中包含子问题的最优解。可以看到，判断子串是否为回文，可以分解为子串的子串是否为回文。

动态规划有三点：状态定义，状态转移方程，边界值。

状态定义：d(i,j)d(i, j)d(i,j)存储bool值，用于判断子串s[i, j+1]是否为回文；
状态转移方程：d(i,j)=(s[i]==s[j])and d(i+1,j−1)d(i, j) = (s[i]==s[j])~ \text{and}~ d(i+1, j-1)d(i,j)=(s[i]==s[j]) and d(i+1,j−1)，意思是，字符串s[i, j+1]是否为回文，取决于1）字符串左右两端字符是否相等，即s[i]==s[j]；且2）子串s[i+1, j-1]是否为回文；
边界值：如果j==i，则d(i,j)=Trued(i, j)=\text{True}d(i,j)=True；如果j==i+1，那么只需判断字符串两端是否相同；如果j>=i+2，那么用状态转移方程判断

具体代码如下：

class Solution:def longestPalindrome(self, s: str) -> str:d = [[False for i in range(len(s))] for j in range(len(s))]# 子串长度i从1（自身）到len(s)for i in range(len(s)):# 给定长度i，子串从j开始for j in range(len(s)-i):if i == 0: # 子串长度为1d[j][j+i] = Trueelif i == 1: # 子串长度为2d[j][j+i] = (s[j] == s[j+i])else: # 子串长度为3及以上# 长度为i的子串变成长度为i-2的子串d[j][j+i] = (s[j] == s[j+i]) and d[j+1][j+i-1] #print(d)# 在二维数组d中，寻找值为True且col-row最大的项max_item = -1start, end = -1, len(s)for i in range(len(s)):for j in range(len(s)):if d[i][j] and j - i > max_item:max_item = j - istart, end = i, jreturn s[start:end+1]

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