求最长回文子串的算法比较经典的是manacher算法

转载自这里

首先，说明一下用到的数组和其他参数的含义：

（1）p[i] ：以字符串中下标为的字符为中心的回文子串半径长度；

例如：abaa字符串，那么p[1]=2,（以b为中心的回文子串是aba，半径长度为2。计算半径时包括b本身）
所以，数组的最大值就是最长回文串的半径。

（2）id
id 为当前已确定的边界能伸展到最靠右的回文串的中心。

例如：

设黑色的线段表示字符串范围
红色的线段表示当前已经确定的回文子串在主串中的范围

虽然左边的红色线段（左边的回文子串）长度比右边长，但是，记录的中心是右边红色线段的中心，因为右边的回文子串伸展更靠右。（下面将会解释为什么要记录这个id值）

manacher算法是从左到右扫描的，所以，在计算时，都是已知的。

manacher算法

假设现在扫描到主串下标为的字符，那么，以为中心的回文子串最可能和之前已经确定的哪个回文子串有交集？ 没错，就是能伸展最靠右的回文子串，也就是以为中心的回文子串。至于这个交集有什么用，下面将解释。

以i为中心的回文串和以id为中心的回文串如果有交集，会出现三种情况：

（1）

其中，2*id-i为i以id为中心的对称位置。（2*id-i这个就不用多说了吧，计算一下就得到了）

第一种情况是（上图），以2id-i为中心的回文子串左端超出了以id为中心的回文子串（绿色部分左端超出黑色部分左端）。那么，根据回文串的特点，知道以2id-i为中心的两边橙色部分是对称的，同样，若以id为中心，这两段橙色部分又对称id右边两段橙色部分，所以，以i为中心的两段橙色部分也是回文串。

这种情况下, p[i]=p[id]+id-i (橙色部分的长度)

那么，以i为中心的橙色部分有没有可能更长？这是不可能的，假设还可以更长，如下：

a和b对称，b和c对称，c和d对称，最终得到a和d对称，那么，以id为中心的回文串长度就不是下面黑色部分的长度了，而应左端加a右端加d，与已经求得的长度矛盾。

所以这种情况下: p[i]=p[id]+id-i

（2）

第二种情况是以2*id-i为中心的回文子串在以id为中心的回文子串内，如上图。此时，p[i]=p[2*id-i] ，那么，以i为中心的绿色部分还可以伸展吗？假设可以，如下：

同样，c和d对称，b和c对称，a和d对称，得到a和b对称，那么以2*id-i为中心的回文子串长度就不是绿色部分的长度了，需要左端加a右端加b，与以求得的长度矛盾。

所以，这种情况下 p[i]=p[2*id-i]。

（3）

第三种情况是，以2*id-i为中心的回文子串左端与以id为中心的回文子串的左端恰好重合。则有。也就是说在的基础上，还可能增加，即以i为中心的绿色部分还可能伸展。

所以，需要用一个while循环来确定它能增加多少。while循环为：

while (s[i - p[i]] == s[i + p[i]])++p[i];

也就是判断绿色两端（下图浅黑色线段）是否相同，如果相同，就可以不断增加。（理解p[i]的意思，就理解这个循环了）

如果没有出现交集(上面三种情况)，那么就以i为中心点找最长回文子串(下面代码中else的情况)。所以，算法主要是利用回文串的交集来减少计算。

如果我们将上面的情况总结起来，代码将非常简洁：

if (p[id] + id - 1 >= i)
//没有超出当前边界最右的回文串，也就是上面出现交集三种情况中的一种p[i] = Min(p[2 * id - i], p[id] + id - i);
else//如果没有交集，就以它为中心求回文串长度p[i] = 1;while (s[i - p[i]] == s[i + p[i]])++p[i];

最后，需要注意的是，上面的讨论都是以某个字符为中心的回文串，比如像这样的回文串：aabaa (长度为奇数)。但是，如果是这样的回文串：aabbaa(长度为偶数)，就没法处理。

我们可以通过插入特殊符号（如‘#’）的办法，将字符串统一为奇数长度，如aabaa 变为 #a#a#b#a#a# ;同理，aabbaa变为#a#a#b#b#a#a#

注意到，上面的代码：

while (s[i - p[i]] == s[i + p[i]])++p[i];

可能越界(超过头或尾),我们可以通过头尾也加入不相同的特殊符号处理，如aabaa 变为 $ #a#a#b#a#a# @。这种办法为什么可行呢？我们举个例子，还是以aabaa为例，它变成 $ #a#a#b#a#a# @。当i指向第一个a时（也就是i=2），这时，s[i-1]==s[i+1]；继续比较s[i-2]≠s[i+2]（也就是比较$和a），就不会超过头。所以，就避免了越界的现象。末尾加个@也是同样的道理。

最长回文串的长度是maxlen-1
解释

p[i]为回文串的半径，如果该半径是以 # 开始，即 # s[i] #....# 则一定以 # 结束，所以 maxlen-1 ,恰好是 s[] 和 # 一样多，也就是maxlen-1是原串以 i 为中心的回文串的长度
如果该半径是以s[]开头，即 ....# s[i-1] # s[i] # s[i+1] #.... ，显然回文串的长度是p[i]-1

下面是hihoCoder的一道求最长回文子串的题：http://hihocoder.com/problemset/problem/1032

#include<iostream>
#include<string>  int Min(int a, int b)
{if (a < b)return a;return b;
}int LPS(std::string &s)
{std::string new_s="";int s_len = s.length();new_s.resize(2 * s_len + 3);int new_s_len = new_s.length();new_s[0] = '$';new_s[1] = '#';new_s[new_s_len - 1] = '@';for (int i = 0,j=2; i < s_len; ++i){new_s[j++] = s[i];new_s[j++] = '#';}int *p = new int[new_s_len + 1];int id = 0;//记录已经查找过的边界最靠右回文串的中心int maxLPS = 1;p[0] = 1;for (int i = 1; i < new_s_len-1; ++i){if (p[id] + id - 1 >= i)//有交集的情况p[i] = Min(p[2 * id - i], p[id] + id - i);else//无交集的情况p[i] = 1;while (new_s[i - p[i]] == new_s[i + p[i]])//确定能伸展多少，上面if的情况是不会执行这个循环的++p[i];if (p[id] + id < p[i] + i)//重新确定伸展最右的回文子串中心id = i;if (p[i]>maxLPS)//保存当前最长回文子串的长度(还要-1)maxLPS = p[i];}delete[] p;return maxLPS - 1;
}int main()
{int N;std::string s;std::cin >> N;while (N--){std::cin >> s;std::cout<<LPS(s)<<std::endl;}return 0;
}

HDU3068 使用C语言字符数组来加快速度

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
const int maxn=2e5+10;
char s[maxn],new_s[maxn*2];int LPS(){int s_len=strlen(s);int new_s_len=s_len*2+3;new_s[0]='$';new_s[1]='#';new_s[new_s_len-1]='@';int i,j;for(i=0,j=2;i<s_len;i++){new_s[j++]=s[i];new_s[j++]='#';}new_s[j]='\0';int *p=new int[new_s_len+1];int id=0;int maxLPS=1;p[0]=1;for(int i=1;i<new_s_len;i++){if(p[id]+id-1>=i)p[i]=min(p[2*id-i],p[id]+id-i);elsep[i]=1;while(new_s[i-p[i]]==new_s[i+p[i]])p[i]++;if(p[id]+id<p[i]+i)id=i;if(p[i]>maxLPS)maxLPS=p[i];}delete[] p;return maxLPS-1;
}
int main(){int ca=1;while(scanf("%s",s)!=EOF){memset(new_s,0,sizeof new_s);printf("%d\n",LPS());}return 0;
}

更加高效简单的写法

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
const int maxn=2e5+10;
char s[maxn<<1];
int p[maxn<<1];//p[i]是回文串的半径int LPS(){int len=strlen(s);int maxlen=1;//最长回文字符串的长度int id=0;for(int i=len;i>=0;i--){//插入len+1个”#“s[i+i+2]=s[i];s[i+i+1]='#';}//最终的S的长度是1~2*len+1s[0]='*';//防止while时p[i]越界for(int i=2;i<2*len+1;i++){if(p[id]+id>i)p[i]=min(p[2*id-i],p[id]+id-i);elsep[i]=1;while(s[i-p[i]]==s[i+p[i]])p[i]++;if(id+p[id]<i+p[i])id=i;if(maxlen<p[i])maxlen=p[i];}return maxlen-1;
}
int main(){while(scanf("%s",s)!=EOF){printf("%d\n",LPS());}return 0;
}

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