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第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

(1)一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；

②未知数的最高次数是2；

③是整式方程。

(2)一元二次方程的一般形式

一般形式：

ax² + bx + c = 0(a ≠ 0).

其中，ax²是二次项，a是二次项系数；

bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

(3)一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2 降次——解一元二次方程

21.2.1 配方法

知识点一：直接开平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x²=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得

(2)直接开平方法适用于解形如x²=p或(mx+a)²=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二：配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：

(1)一移：把常数项移到等号的右边；

(2)二除：方程两边都除以二次项系数；

(3)三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

(4)四开：若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2 公式法

知识点一公式法解一元二次方程

(1)一般地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，如果b²-4ac≥0，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的过程。

公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值

②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③求出b²-4ac的值；

④若b²-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b²-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b²-4ac.

21.2.3 因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

(1)因式分解法解定义

把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化 为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的详细步骤：

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x²+px+q=0的两个根为x₁,x₂,则有x₁+x₂=-p,x₁x₂=q.

若一元二次方程a²x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x₁,x₂,则有

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

(2)设：是指设元，也就是设出未知数。

(3)列：就是列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后     列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知数的值。

(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

(6)答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

(1)数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。

三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.

(2)增长率问题

设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)²=b。

(3)利润问题

利润问题常用的相等关系式有：

①总利润=总销售价-总成本；

②总利润=单位利润×总销售量；

③利润=成本×利润率

(4)图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

第二十二章二次函数

1.定义：一般地，如果y=ax²+bx+c(其中a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y=ax²的性质

(1)抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

(2)函数y=ax²的图像与a的符号关系.

①当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点；

②当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为y=ax²(a≠0).

3.二次函数 y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成：

y=a(x - h)²+k的形式，其中

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y=ax²；

②y=ax²+k；

③y=a(x - h)²；

④y=a(x - h)²+k；

⑤y=ax²+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：

当a>0时，开口向上；

当a<0时，开口向下；

|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.

几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：

∴顶点是:

对称轴是直线:

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)²+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线y=ax²+bx+c中，a、b、c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与y=ax²中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线，故：

①b=0时，对称轴为y轴；

②(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；

③(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧.

(3)的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置.

当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点(0，c)：

①c=0，抛物线经过原点;

②c>0，与y轴交于正半轴；

③c<0，与y轴交于负半轴.

以上三点当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y=ax²+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：y=a(x - h)²+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x_1、x₂，通常选用交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂).

12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y=ax²+bx+c得交点为(0, c).

(2)与y轴平行的直线X=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(h, ah²+bh+c)

(3)抛物线与轴的交点

二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x_1、x₂，是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点Û△>0Û抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)Û△=0Û抛物线与x轴相切；

③没有交点Û△<0Û抛物线与轴相离.

(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax²+bx+c=k的两个实数根.

(5)一次函数y=kx+n(k≠0)的图像L与二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像G的交点，由方程组的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时L与G有两个交点;

②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；

③方程组无解时L与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点为A(x₁,0),B(x_2,0)，由于x_1、x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，故

第二十三章旋转

23.1 图形的旋转

知识点一旋转的定义

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质

旋转的特征：

(1)对应点到旋转中心的距离相等；

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(3)旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

(1)   图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

(2)   对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

(3)图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：

(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(2)对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：

①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；

②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)

③截：即在角的另一边截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

④接：即连接到所连接的各点。

23.2 中心对称

知识点一中心对称的定义

中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：

(1)中心对称指的是两个图形的位置关系；

(2)只有一个对称中心；

(3)绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三中心对称的性质

有以下几点：

(1)   关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；

(2)   关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；

(3)   关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)且相等。

知识点四中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。

第二十四章圆

24.1 圆

24.1.1 圆

知识点一

圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：

第一种定义是圆的形成进行描述的，

第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

(3)等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

(4)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径

知识点一圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理

(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，

(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，

注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3 弧、弦、圆心角

知识点弦、弧、圆心角的关系

(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

(3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4 圆周角

知识点一圆周角定理

(1)   圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

(2)   圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

(3)   圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

知识点一点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

(2)用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有：

点P在圆外Û d＞r；点p在圆上Û d=r；点p在圆内Û d＜r。

知识点二过已知点作圆

(1)  经过一个点的圆(如点A)

以点A外的任意一点(如点O)为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

(2)   经过两点的圆

(如点A、B)以线段AB的垂直平分线上的任意一点(如点O)为圆心，以OA(或OB)为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

(3)   经过三点的圆

①  经过在同一条直线上的三个点不能作圆

②  不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC(或AB、AC或BC、AC)并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA(或OB、OC)的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。

知识点三三角形的外接圆与外心

(1)   经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

(2)   外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识点四反证法

(1)   反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

(2)   反证法的一般步骤：

①  假设命题的结论不成立；

②  从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；

③  由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2 直线和圆的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

(1)   直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

(2)   直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：

直线l和⊙O相交Û  d ＜ r；

直线l和⊙O相切Û  d =r；

直线l和⊙O相离Û  d ＞ r。

知识点二切线的判定和性质

(1)   切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)   切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

(3)   切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三切线长定理

(1)   切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

(2)   切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

(3)   注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

知识点四三角形的内切圆和内心

(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。

(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

24.2.3 圆和圆的位置关系

知识点一圆与圆的位置关系

(1)   圆与圆的位置关系有五种：

①  如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；

②  如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；

③  如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

(2)   圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：

若设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r₁ r₂,且r₁ ＜r₂，

则有：

两圆外离Û d＞r₁+r₂   

两圆外切Û d=r₁+r₂       

两圆相交Û r₂-r₁＜d＜r₁+r₂    

两圆内切Û d=r₂-r₁    

两圆内含Û d＜r₂-r₁

24.3 正多边形和圆

知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n(n是大于2的自然数)等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质

(1)   正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。

(2)   所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。

(3)   正n边形的每一个内角等于，中心角和外角相等，等于

24.4 弧长和扇形面积

知识点一弧长公式l=

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式

知识点二扇形面积公式

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR²，所以圆心角为n°的扇形的面积为S_扇形=

比较扇形的弧长公式和面积公式发现：

S_扇形=

知识点三圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积。圆锥的全面积为。

第二十五章　概率初步

25.1 随机事件与概率

25.1.1 随机事件

知识点一必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。

必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，它们统称为确定性事件。

知识点二事件发生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

25.1.2 概率

知识点概率

一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A)。

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=。由m和n的含义可  知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P(A)≤1.

当A为必然事件时，P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0.

25.2 用列举法求概率

知识点一用列举法求概率

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=。

知识点二用列表发求概率

当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。

知识点三用树形图求概率 

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。

(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。

(2)在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。

25.3 用频率估计概率

知识点

在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P(A)=p 。

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