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湘教版初二数学上册

(义务教育教科书)

第1章 分式

1.1 分式

1.2 分式的乘法和除法

1.3 整数指数幂

1.4 分式的加法和减法

1.5 可化为一元一次方程的分式方程

本章复习与测试

第2章 三角形

2.1 三角形

2.2 命题与证明

2.3 等腰三角形

2.4 线段的垂直平分线

2.5 全等三角形

2.6 用尺规作三角形

本章复习与测试

第3章 实数

3.1 平方根

3.2 立方根

3.3 实数

本章复习与测试

第4章 一元一次不等式(组)

4.1 不等式

4.2 不等式的基本性质

4.3 一元一次不等式的解法

4.4 一元一次不等式的应用

4.5 一元一次不等式组

本章复习与测试

第5章 二次根式

5.1 二次根式

5.2 二次根式的乘法和除法

5.3 二次根式的加法和减法

本章复习与测试

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知识点总结

第一章：分式

一、课前构建：

认真阅读教材P_1－40回顾相关知识：

二、课堂点拨：

知识点一：分式的概念

★考点1:分式的定义：

知识点二：分式的性质

★考点4:分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘            ，所得分式与原分式相等。即          (其中)

分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。即                (其中)

分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。即                          。

★考点5:最简分式

(1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。

约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。

(2)最简分式：分子与分母没有         分式，叫做最简分式。

注：分式运算的最终结果若是分式，一定要化成最简分式。

知识点三：分式的运算

★考点6:分式的加减法

①同分母分式相加减，分母       ，把分子        。即                      。

②异分母分式相加减，要先      ，即把各个分式的分子与分母都乘适当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。即                         。

注：最简公分母：

①最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。

③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。

例7、计算的结果是                                              。

★考点7:分式的乘除法

乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。即              。

除：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即              (其中     )。

分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母各自乘方。即               (其中是正整数)。

知识点四：分式方程

★考点8:分式方程的解法：

⑴去分母法①去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

②解方程：解上面所得的整式方程；

③检验：把整式方程的根代入          ，看结果是不是零，使            的根是原方程的根，使                    的根是增根。

⑵换元法  也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数。

例11、解下列方程：

★考点9:分式方程的应用：

分析清楚题目中各个量，找出它们的等量关系。

除了解分式方程必须检验外，还需要检查原方程的根是否符合实际问题的要求。

例12、曙光中学计划组织学生观看爱国主义教育影片，包场费1500元；后来实验中学的200名师生也一同观看了影片，商定包场费1500元由两校按人数均摊，这样曙光中学人均比原来少支付2元，问曙光中学有多少人观看了影片？

三、随堂巩固：

5、方程的解是           。

6、某同学解分式方程，得出原方程的解为或。你认为他的解答对吗?请你作出判断，并说明理由                               。

11、化简与计算：

第二章：三角形

一、知识构建

二、知识点拨

★考点1：三角形三边的关系

三角形的任意两边之和        第三边。

例1：已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C的取值范围是(     )

A．1．4≤C≤6                  C．4．1

★考点2：三角形的高、角平分线和中线

①从三角形的一个      向它的      所在直线作       ，       和        之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高；

②在三角形中，一个角的       与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；

③在三角形中，连接一个顶点和它的对边      的线段叫做三角形的中线。

例2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是(     )

A.中线           B.高          C.角平分线           D.以上都不是

★考点3：三角形的内角和

三角形的内角和等于      。

例3、已知△ABC中，∠A=20°，∠B－∠C=40°，则∠B=____。

★考点4：三角形按角分类

三角形中，三个角都是      的三角形叫做锐角三角形；有一个角是      的三角形叫做直角三角形；有一个角是      的三角形叫做钝角三角形。

例4：满足下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？

(1)∠A=20°,∠B =65°，则△ABC是        ；

(2) ，则△ABC是

(3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC是

★考点5：三角形的外角

①定义：三角形的一边与另一边的        所组成的角叫做三角形的外角；

②性质：三角形的一个外角等于                         。

例5：在△ABC中，∠A的外角是80°，则∠B+∠C=(    )

A．100°           B．80°       C．60°          D．40°

★考点6：命题与逆命题

①一般地，对某一件事情做出        的语句(陈述句)叫做命题，命题常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是        ，“那么”引出的部分是        ；

②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的             ，那么这两个命题称为         ，其中一个叫做        ，另一个叫做        。

例6：下列语句是命题的是(   )

(1)两点之间，线段最短；         (2)请画出两条互相平行的直线；

(3)过直线外一点作已知直线的垂线；(4)如果两个角的和是90度，那么这两个角互余.

A．(2)(3)          B．(3)(4)       C．(1)(2)       D．(1)(4)

★考点7：真命题与假命题

正确地命题叫做            ，错误的命题叫做           。

例7、下列命题中，属于假命题的是(    )

A．若a-b=0，则a=b=0        B．若a-b＞0，则a＞b

C．若a-b＜0，则a＜b         D．若a-b≠0，则a≠b

★考点8：等腰三角形的性质

定义：            的三角形叫做等腰三角形；

①对称性：等腰三角形是       图形，对称轴是              ；

②“三线合一”：等腰三角形     上的高、中线及     的角平分线重合；

③“等边对等角”：等腰三角形的两       相等。

例8：等腰三角形的两边长为25cm和12cm，那么它的第三条边长为______；等腰三角形的一个外角是70°，则其底角等于         °；等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数有      条。

★考点9：等边三角形的性质

定义：            的三角形叫做等边三角形；

①等边三角形的三个内角      ，且都等于        ；

②等边三角形是特殊的     三角形。

例9：等边三角形的对称轴有(  )

A．1条  B．2条  C．3条  D．4条

★考点10：等腰(等边)三角形的判定

等腰三角形的判定定理：                  的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)；

等边三角形的判定定理：①三个角都是      的三角形是等边三角形；

②有一个角是      的       三角形是等边三角形。

例10：下列叙述不正确的是(      )

A、有两个内角是70⁰和40⁰的三角形是等腰三角形

B、一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

C、有两个内角不相等的三角形一定不是等腰三角形

D、三个外角都相等的三角形是等边三角形

★考点11：线段的垂直平分线

定义：       且      一条线段的       叫做这条线段的垂直平分线；

性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离       ；

性质定理的逆定理：到线段两端距离       的点在线段的垂直平分线上。

例11：在△ABC中，AB边的垂直平分线交AC于点E，△ABC和△BEC的周长分别是24和14，则AB=         。

★考点12：全等三角形的性质

定义：             的两个三角形叫做全等三角形；

性质：全等三角形的对应边      ；全等三角形的对应角      。

例12：已知△ABC≌△DFE，∠A=25°，∠C=96°，AC=10，则∠BOD的度数是     ，BD的长是     。

★考点13：全等三角形的判定

两边及其       分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”；

两角及其       分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”；

两角分别相等且其中一组等角的       相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”；

分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。

三、当堂测评

一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)

1. 下面各组线段中，能组成三角形的是(  )

A．5，6，11      B．8，8，16      C．4，5，10      D．6，9，14

2. 在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为(   )

A．19cm     B．19cm和14cm     C．11cm     D．10cm

3. 对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是(   )

A．∠1=50°，∠2=40°            B．∠1=50°，∠2=50°

C．∠1=∠2=45°                 D．∠1=40°，∠2=40°

4. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为(    )

A.80°    B.50°    C.80°或50°    D.65.5°

5. 下列有关垂直平分线的说法中不正确的是(     )

A、垂直平分线是一条射线；         B、垂直平分线是一条直线

C、线段的垂直平分线是这条线段的对称轴；

D、到线段的两端点距离相等的点在它的垂直平分线上。

6.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于(    )

A.120°    B.115°    C.110°    D.105°

7.下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是(    )

A、AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′         B、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′

C、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′        D、∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′

二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)

9. 已知线段AB=8㎝，直线CD是AB的垂直平分线，且AB交CD于E，则AE=    ㎝,∠AEC=     °。

10.请将“同位角相等”改写成“如果···，那么···”的形式，

11. 一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是       三角形。

12. 已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____。

13.等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________，底边长为________。

14.已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______。

15. 如左图，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于________。

16.如右图，在△ABC中，点D是BC上一点，

三、解答题(本题共3小题，共36分)

17. 在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB=∠B+30°，求∠AEB．

19、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC⊥BE .

第三章：实数

一、课前构建：

认真阅读教材P_104－126回顾相关知识：

二、课堂点拨：

知识点一：平方根

★考点1:平方根的定义

例1、判断下列说法是否正确；

(1)、—5是25的平方根；     (   )

(2)、25的平方根是—5；  (   )

(3)、0的平方根是0；　　     (   )

(4)、﹣1的平方根是±1； (   )

(5)、(—3)２的平方根是—3；  (   )

(6)、的值是±4。    (   )

【归纳小结】正数有         个平方根，且它们互为          ；0有且只有         个平方根；负数         平方根。只有         数才有平方根。

知识点二：平方根和算术平方根的区别与联系

★考点2:利用平方根、算术平方根的概念求值

知识点三：立方根

★考点3：求一个数的立方根

例4、求下列各式的值；

例5、若，则k的值是        。

【归纳小结】一个正数有       个立方根，是       数；负数有       个立方根，是       数；0的立方根是        ；任何数的立方根有       个。

知识点四：无理数

★考点4：无理数的概念

例5、无理数是(    )

A、无限循环小数                  B、无限小数

C、带根号的数                    D、无限不循环小数

例6、四个数－5，－0.1，，中为无理数的是(     ).

例7、的整数部分是________，小数部分是___________；

知识点五：实数

★考点5:实数的概念及分类

例8、下列各数填入相应的集合内：-5，3.7，，0.2121121112、、、填入相应的集合里。

有理数集合___________________________,

无理数集合_________________________________,

正实数集合___________________________,

负实数集合_________________________________.

例9、和数轴上的点一一对应的是(　　)

A、整数　       B、有理数　    C、无理数　　　D、实数

★考点6:实数的相反数、绝对值、倒数的意义

★考点7：实数的大小比较

★考点8:实数的加、减、乘、除、乘方运算

例12、计算下列各式的值；

例13、解方程；

三、随堂巩固：

1、a的算术平方根是5，则a=      ,它的另一个平方根是           。

19、计算：

(2)

(3)

20、已知：，求x－y的立方根。

第四章：一元一次不等式(组)

不等

式

不等式

考点一、不等式的概念

1、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

考点三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1

考点四、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

不等式的性质：
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有：
(1) a>bb

(2) a>b, b>ca>c (传递性)
(3) a>ba+c>b+c (c∈R)
(4) c>0时，a>bac>bc
c<0时，a>bac

运算性质有：
(1) a>b, c>da+c>b+d。
(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。
(3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。
(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

第五章：二次根式

一、课前构建：

认真阅读教材P_154－173回顾相关知识：

二、课堂点拨：

知识点一：二次根式的概念

二次根式：式子叫做二次根式。

★考点1:最简二次根式：①被开方数的因数是      ，因式是       ；

②被开方数中不含                  。

知识点三：二次根式的运算

⑴二次根式的加减：将各根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

⑵二次根式的乘法：二次根式相乘，把被开方数相乘，所得的积仍作为积的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。

①乘法通式：

②多项式的乘法公式适用于二次根式的乘法。

⑶二次根式的除法：二次根式相除，把被开方数相除，所得的商仍作为商的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。

除法通式：

补充：分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

注：有理化因式：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不再含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。

常用的有理化因式有:,

⑸二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

例4：先化简，再求值：，其中。

三、随堂巩固：

1、化简:=________。

5、等式中的括号应填入            。

6、观察分析下列数据，按规律填空：

7、将棱长分别为a cm和b cm的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为             cm。(不计损耗)

8、观察下列分母有理化的计算：

18、化简下列各式：

(1)(0＜＜2)         (2)

19、化简：(0＜＜3)

20、已知，求值。

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