▓ 各个小题的求解过程：

2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第一小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第三小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第四小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第五小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第六小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第七小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第八小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第九小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第十小题
2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第十一移小题—MATLAB

▌第一题

1. 求下图所示的周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。

▌第二题

2. 求下图所示各周期信号的傅立叶级数并画出幅度谱。

★ 只做(2),(3)

▌第三题

3. 已知周期信号的傅立叶级数表达式为：

f(t)=2+3cos⁡2t+4sin⁡2t+2sin⁡(3t+30o)−cos⁡(7t+150o)f\left( t \right) = 2 + 3\cos 2t + 4\sin 2t + 2\sin \left( {3t + 30^o } \right) - \cos \left( {7t + 150^o } \right)f(t)=2+3cos2t+4sin2t+2sin(3t+30o)−cos(7t+150o)

（1）求出f(t)f\left( t \right)f(t)的基频；
（2）画出f(t)f\left( t \right)f(t)的幅度谱和相位谱；

注：这是一道复习题，对于幅度谱和相位谱进行练习。

第一问需要根据已知信号中的各个谐波的频谱找到该信号的主频率，也就是基波频率。它应该是信号中除了直流分量之外，其它各个交流分量周期（频率）的最大公约数(最小公倍数).

第二问要求绘制出幅度谱，和相位谱。要求将信号都表示为 cncos⁡(nω1t+φ)c_n \cos \left( {n\omega _1 t + \varphi } \right)cncos(nω1t+φ)的形式，其中要求cnc_ncn必须为正数。φ取值为-180°～+180°之间的值。

▌第四题

4. 下图所示的波形参数为：τ=5μs,T=10μs\tau = 5\mu s,\,\,T = 10\mu sτ=5μs,T=10μs,该矩形脉冲波形中是否存在如下频率分量？

100kHz, 200kHz, 250kHz, 300kHz, 400kHz

▌第五题

5. 设 f(t)f\left( t \right)f(t)为 [−π,π]\left[ { - \pi ,\pi } \right][−π,π]上的光滑函数，满足：

f(−π)=f(π)f\left( { - \pi } \right) = f\left( \pi \right)f(−π)=f(π)

且an,bna_n ,b_nan,bn为f(t)f\left( t \right)f(t)的傅里叶系数， an′,bn′a'_n ,b'_nan′,bn′为f(t)f\left( t \right)f(t)的导数f′(t)f'\left( t \right)f′(t)的福利也悉数，证明：

a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)a'_0 = 0,\,\,a'_n = nb_n ,\,\,b'_n = - na_n ,\,\,\left( {n = 1,2, \cdots } \right)a0′=0,an′=nbn,bn′=−nan,(n=1,2,⋯)

※ 本题为思考题

▌第六题

6. 已知周期信号 f(t)f\left( t \right)f(t)在其四分之一周期内的信号波形如下图所示：

分别绘制出，信号在如下对称性下的波形：

(1) 信号为偶函数，只包含奇次谐波；
(2) 信号为奇函数，只包含偶次谐波；
(3) 信号为奇函数，只包含奇次谐波；
(4) 信号为偶函数，只包含偶次谐波；

注：至少绘制出信号一个周期内的波形。

▌第七题

7. 利用信号的对称性，确定下面各个周期信号的傅里叶级数所含有的频率成分：

▌第八题

8. 关于周期信号x(t)x\left( t \right)x(t)有如下相应的描述：

(1) x(t)x\left( t \right)x(t)是实数函数；

(2) x(t)x\left( t \right)x(t)的周期为T=6T = 6T=6，傅里叶系数为aka_kak；

(3) 当k=0,k>2k = 0,\,k > 2k=0,k>2时，ak=0a_k = 0ak=0；

(4) x(t)=−x(t−3)x\left( t \right) = - x\left( {t - 3} \right)x(t)=−x(t−3)

(5) 16∫−33∣x(t)∣2dt=12{1 \over 6}\int_{ - 3}^3 {\left| {x\left( t \right)} \right|^2 dt} = {1 \over 2}61∫−33∣x(t)∣2dt=21

(6) a1a_1a1是正实数。

※ 本题为思考题。

▌第九题

9. 求下图所示的半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图：

注：对于该信号的频谱计算，可以直接利用公式进行。其中建议大家对于被积分cos函数利用Euler公式更换成两个共轭复指数叠加的形式，然后在进行求解，这样便于写出积分的原函数。需要承认，这个过程与课件[3.6.2]'中求解三角脉冲函数的FT一样繁琐。将来给出的参考答案大概需要经过11步才完成。在后面讲解完傅里叶变换的频移特性之后，对于该函数有简单的求解方式。课件[3.7.2.4]中给出了相应的步骤。但现在别使用这个方法。最后需要说明两点：
1. 最终的求解结果可以有很多种恒等变形，不一定需要化简为Sinc函数的形式；
2. 绘图建议使用MATLAB辅助工具绘制，然后再手工给出。

▌第十题

10. 利用傅里叶变换公式计算下面信号的傅里叶变换。

(1) e−2(t−1)⋅u(t−1)e^{ - 2\left( {t - 1} \right)} \cdot u\left( {t - 1} \right)e−2(t−1)⋅u(t−1)

(2)

e−2∣t−1∣e^{ - 2\left| {t - 1} \right|}e−2∣t−1∣

(3)

δ(t+1)+δ(t−1)\delta \left( {t + 1} \right) + \delta \left( {t - 1} \right)δ(t+1)+δ(t−1)

(4)

ddt[u(−2−t)+u(t−2)]{d \over {dt}}\left[ {u\left( { - 2 - t} \right) + u\left( {t - 2} \right)} \right]dtd[u(−2−t)+u(t−2)]

▌第十一题

在MATLAB中，根据矩形周期脉冲信号傅里叶级数分解也锯齿波傅里叶级数分解的公式，绘制前N项级数叠加后的波形，体会在信号不连续部分出现的Gibbs现象。

^{▲ N=100}

^{▲ N=200}

>> E = 1;tao=0.5;
>> t=linspace(-0.7,0.7,10000);
>> data=ones(size(t))*E*tao/T;
>> for n=1:200 data=data+2*E*tao/T*sinc(n*2*pi*tao/T/2/pi)*cos(n*2*pi*t);end
>> plot(t, data)