穷举查找

对于组合问题来说，穷举查找是一种简单的蛮力算法。它要求生成问题域中的每一个元素，选出其中满足问题约束的元素，然后再找出一个期望元素。

旅行商问题

简单来说，这个问题要求找出一条n个给定的城市间的最短路径，使我们在回到出发的城市之前，对每个城市都只访问一遍。这个问题可以很方便地用加权图来建模，也就是说，用图的顶点代表城市，用边的权重表示城市间的距离。这样该问题就可以表述为求一个图的最短哈密顿回路问题。

哈密顿回路：一个对图的每个顶点都只穿越一次的回路

对于四个点都连通的图，我们假定从a点出发，可以将获得(4-1)!条路径（公式(n-1)!），但是需要注意的是，如果没有假定起点，那么这个问题的规模将增大n倍

对于图中的例子，其实我们发现它们是两两成对的，同对之间不同的仅仅是方向，因此，我们可以将路径总数减半(n-1)!/2，但是，显然，这并没有提高太大的效率。

背包问题

这是计算机科学中另一个著名的问题。给定n个重量为w1,w2,...,wn,w_1,w_2,...,w_n,w1,w2,...,wn,价值为v1,v2,...,vnv_1,v_2,...,v_nv1,v2,...,vn的物品和一个承重为W的背包，求这些物品中一个最优价值的子集，并且要能够装到背包中。
在这个问题中，穷举查找需要考虑给定的n个子集，为了找出可行的子集（也就是说，总重量不超过背包承重能力的子集），要计算出每个子集的总重量，然后在它们中间找到价值最大的子集。因为一个n元素集合的子集数量为2n2^n2n个，所以无论生成独立子集的效率有多高，穷举查找都会导致一个Ω(2n)\Omega(2^n)Ω(2n)的算法。如下例子：

因此无论是对旅行商问题还是背包问题，穷举查找型算法对于任何输入都是非常低效的。实际上，这两个问题就是所谓的NP困难问题中最著名的例子。

分配问题

对于可以穷举查找求解的问题，我们再举第三个例子：有n个任务需要分配给n个人执行，一个任务对应一个人（意思是说：每个任务只分配一个人，每个人只分配一个任务）。对于每一对i,j=1,2,…,n来说，将第j个任务分配给第i个人的成本是C[i,j]，该问题要找出总成本最小的分配方案。
下面是该问题的一个小规模的实例，表中的数值代表的是分配成本C[i,j]

很容易发现，分配问题的实例完全可以用它的成本矩阵C来表示。就这个矩阵来说，这个问题要求在矩阵的每一行中选出一个元素，这些元素分别属于不同的列，而且元素的和是最小的。请注意，求解该问题并没有一个显而易见的策略。例如，我们不能选择每行中的最小元素，因为这些元素可能属于同一列。实际上，整个矩阵的最小元素并不一定是最优解的一部分。下面是上面例子的答案：

由于在分配问题的一般情况下，需要考虑的排列数量是n!，所以除了该问题的一些规模非常小的实例，穷举查找法几乎不实用。幸运的是，对于该问题有一个效率高得多的算法，叫匈牙利方法。

笔者打算先把穷举的情况先了接了，再深入后面的改良，穷举算法的改进版后续会再做补充

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