旅行商问题

旅行商问题所描述的是这样一个场景：

有一个商品推销员，要去若干个城市推销商品。该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。每个城市之间都有道路连通，且距离各不相同，推销员应该如何选择路线，使得总行程最短呢？

这个问题看起来很简单，却很难找到一个真正高效的求解算法。其中最容易想到的，是使用穷举法：

把所有可能的路线穷举出来，计算出每一条路线的总行程：

A-B-C-D-E-F-G-H-I

A-B-C-D-E-F-G-I-H

A-B-C-D-E-F-H-G-I

A-B-C-D-E-F-H-I-G

A-B-C-D-E-F-I-H-G

A-B-C-D-E-F-I-G-H

......

......

像上面这样排列组合，从所有路线中找出总行程最短的路线。显然，这个方法的时间复杂度是O(n！)，随着城市数量的增长，花费的运算时间简直不可想象！

后来，人们想出了许多相对优化的解决方案，比如动态规划法、分枝定界法(这个算法很有意思，以后会专门写一篇漫画来详细介绍)......但是，这些算法的时间复杂度仍然是指数级的，并没有让性能问题得到根本的解决。

P和NP

NP到底是什么意思呢？

我们曾经学习过许许多多的算法，这些算法的时间复杂度都可以用多项式来表示，比如：

归并排序的时间复杂度是O(nlogn)

冒泡排序的时间复杂度是O(n^2)

Floyd算法的时间复杂度是O(n^3)

尽管这些算法的运行时间有数量级上的差别，但是它们的时间复杂度都可以用O(n^k)来表示，k是一个常数。

因此，这些算法都是多项式时间算法，能用多项式时间算法解决的问题被称为P问题( Polynomial)。

人们常说，能用钱解决的问题都不是问题，在计算机科学家眼中，能用多项式时间解决的问题都不是问题。

然而，世间还存在许多变态的问题，是无法(至少是暂时无法)在多项式时间内解决的，比如一些算法的时间复杂度是O(2^n)，甚至O(n!)。

随着问题规模n的增长，计算量的增长速度是非常恐怖的。这类问题被称为NP问题(Non-deterministic Polynomial)，意思是“不确定是否能用多项式时间解决”。

有些科学家认为，所有的NP问题终究都可以在多项式时间内解决，只是我们暂时还没有找到方法；也有些科学家认为，某些NP问题永远无法在多项式时间内解决。

这个业界争论可以用一个公式来表达：

NP = P？

归约和NPC

这里所说的NPC问题可不是游戏当中的NPC，它究竟是什么意思呢？要想理解NPC问题，我们需要先了解归约的概念。

归约，可以简单理解成问题之间的转化。例如问题Q是一个一元一次方程的求解问题：3x+6 = 12，这个问题可以转化成一个一元二次问题Q'：0x^2+3x+6 = 12。

显然，问题Q并不比问题Q'更难解决，只要有办法解决Q'，就一定能够解决Q。对于这种情况，我们可以说问题Q归约于问题Q'。

同时，这种归约可以逐级传递，比如问题A归约于问题B，问题B归约于问题C，问题C归约于问题D，那么我们可以说问题A归约于问题D。

在NP问题之间，也可以存在归约关系。我们把众多的NP问题层层归约，必定会得到一个或多个“终极问题”，这些归约的终点就是所谓的NPC问题(NP-complete)，也可以翻译成PC完全问题。上面所讲的旅行商问题，被科学家证明属于NPC问题。

就数量上而言，NP问题远比P问题要多，而NP之中的NPC问题也仅占极少数，所以P、NP、NPC之间的关系可以用下图来表示：

俗话说擒贼先擒王，只要有朝一日，我们能够找到NPC问题的多项式时间算法，就能够解决掉所有的NP问题！但遗憾的是，至今还没有人能够找到可行的方法，很多人认为这些问题是无解的。

回到最初的问题：

既然是工程问题，我们与其钻牛角尖寻求最优解，不如用小得多的代价寻求次优解。

最简单的办法是使用贪心算法，先选择距离起点最近的城市A，再选择距离A城市最近的城市B... 以此类推，每一步都保证局部最优。

这样规划出的路线虽然未必是全局最优，但平均情况下也不会比最优方案差多少。

除此之外，还有许多近似的解决方案，比如遗传算法、蚁群算法等等。谷歌有一款开源工具OR-TOOL，当中也包含路线规划的实现，可以研究一下。

总结：

本文提到的算法名及可扩展内容：

穷举法、动态规划法、分枝定界法

归并排序、冒泡排序、Floyd算法

贪心算法

遗传算法、蚁群算法

谷歌开源工具OR-TOOL