任务分配的穷举法、匈牙利法、分支定界法

1、（必做）任务分配问题。设有 4 项任务 B1、B2、B3、B4，派 4 个人 A1、

A2、A3、A4 去完成。每个人都可以承担 4 项任务中的任何一项，但所消耗的资金不同。设 Ai 完成 Bj 所需资金为。问如何分配任务，使总费用最少？

假定每个数据具体的数值如表 2 所示。其中列表示任务 Bj，行表示人员

Ai，表格中的每个数据表示 Ai 完成 Bj 所需资金。

要求：

（1）查阅资料，解释什么是最优化问题？最优化问题包含哪些概念？哪些

问题属于最优化问题？通常采用什么方法求解最优化问题？3

2）分析问题，建立相应的数学模型。要求给出数学建模的主要步骤，给

出所有变量的定义、目标函数和约束条件。说明你采用的是什么建模方法。

3）利用现有的数学知识，你认为一共有多少种可能的情况？试列表给出

所有可能，并求出最佳分配方案，此时总费用为多少？

提示：

① 本题涉及最优化问题和穷举法等知识。穷举法（枚举法，Enumeration）

就是按问题本身的性质，通过多重循环一一列举出该问题所有可能的解（不能遗

漏，也不能重复），并在逐一列举的过程中，检验每个可能的解是否是问题的真

正解，若是，则采用这个解，否则抛弃它。

② 仔细阅读教材【案例 2.7】“学生选课”，体会该案例是如何进行模型假设

和模型建立的。

③ 分配问题也称为指派问题，它是典型的最优化问题。一般是引入一个 0-1

变量，=1 表示指派 Ai 完成任务 Bj；=0 表示不指派 Ai 去完成任务 Bj。

然后根据题意写出目标函数和约束条件，再选取合适的方法求解。

除了采用穷举法求解，还可以采用匈牙利算法求解。匈牙利算法由匈牙利数

学家 Edmonds 于 1965 年提出，因而得名。利用该算法求解任务分配问题，简单

易行。

或者采用组合问题中的分支限界法求解。

④ 根据题意，约束条件可以用文字描述为：某项任务只能由 4 个人中的一

个来完成；每个人只能承担 4 项任务中的一项。将它们表达为与有关的两个

等式即可。

答：(1)最优化问题

最优化问题的一般提法是要选择一组参数（变量），在满足一系列有关的限制条件（约束）下，使设计指标（目标）达到最优值。换言之，最优化问题就可以定义为：在给定的约束条件下，选择最优的参数和方案，来使得目标函数最大化/最小化的问题。我们高中学的线性规划就是其中一种。

最优化问题包含的主要概念包括：

a.决策变量：直接影响设计指标取值的变量

b.约束条件：影响决策变量取值的一系列限制条件

c.目标函数：设计指标的取值

一般来说，函数优化问题，组合优化问题，线性规划问题和多目标规划问题，可以看为最优化问题。

通过查找资料，了解到解决最优化问题通常采用的方法有：拉格朗日乘子法，在有不等约束时使用KKT条件。牛顿法、最速下降法（梯度法）、模式搜索法(步长加速法)

问题分析

我们有以下理想条件

a.可分配人员与可分配任务数量、种类不变

b.任务分配好后不会再出现人员与任务变动情况

C.题目中的对应资金不变

模型的准备：通过题干，我们可以清楚地知道每种情况对应的资金，我们只需要确定每个人员对应不同的任务（或者是每个任务对应的人员），而不同情况资金对应也是不同的，显然我们可以用穷举的方法来解决。
模型假设：如果利用穷举法的化我们只需要按照一定的顺序，将所有的情况列举出来，而根据高中阶乘的知识，我们一共需要4！=24种。

当然我们还要给它们相应的编号。A1、 A2、A3、A4 四个人分别做B1、B2、B3、B4，中的一个设 Ai 完成 Bj 所需资金为Cij

问题求解

方法一

下面利用穷举法写出所有可能，在括号中，前后顺序表示A1、 A2、A3、A4 四个人，阿拉伯数字1，2，3，4表示B1、B2、B3、B4四个任务的安排。

（1,2,3,4）（1,2,4,3）（1,3,2,4）（1,3,4,2）(1,4,2,3)(1,4,3,2)(2,1,3,4)(2,1,4,3)(2,3,1,4)(2,3,4,1)(2,4,1,3)(2,4,3,1)(3,1,2,4)(3,1,4,2)(3,2,1,4)(3,2,4,1)(3,4,1,2)(3,4,2,1)(4,1,2,3)(4,1,3,2)(4,2,1,3)(4,2,3,1)(4,3,1,2)(4,3,2,1)

最佳解决方案为

A1分配任务B4，A2分配任务B1，A3分配任务B2，A4分配任务B3，算得总费用为M=15

方法二

	B1	B2	B3	B4
A1	6	7	11	2
A2	4	5	9	8
A3	3	1	10	4
A4	5	9	8	2

以这个表建立一个矩阵，使用匈牙利算法（每行的所有数字减去该行的最小项

每列的所有数字减去该列的最小项；使用横线或者竖线穿过矩阵中的所有0，并记录达成此目的所需的最少线路总数；如果线路总数等于矩阵的行数或者列数n，那么一种最优的分配是可能的，完成。如果总数小于n，执行下一步；找到线路未覆盖的地方的最小项，存在未覆盖的项的行减去该项，然后将该项添加到覆盖的列中）

最后结果与穷举法一致

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