平面向量内积坐标公式推导_平面向量的所有公式-平面向量公式
1
平面向量的所有公式
设
a=
(
x
，
y
)
，
b=(x'
，
y')
。
1
、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC
。
a+b=(x+x'
，
y+y')
。
a+0=0+a=a
。
向量加法的运算律：
交换律：
a+b=b+a
；
结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)
。
2
、向量的减法
如果
a
、
b
是互为相反的向量，那么
a=-b
，
b=-a
，
a+b=0. 0
的反向量为
0
AB-AC=CB.
即
“
共同起点，指向被减
”
a=(x,y) b=(x',y')
则
a-b=(x-x',y-y').
3
、数乘向量
实数
λ
和向量
a
的乘积是一个向量，记作
λa
，且∣
λa
∣
=
∣
λ
∣
•
∣
a
∣。
当
λ
＞
0
时，
λa
与
a
同方向；
当
λ
＜
0
时，
λa
与
a
反方向；
当
λ=0
时，
λa=0
，方向任意。
当
a=0
时，对于任意实数
λ
，都有
λa=0
。
注：按定义知，如果
λa=0
，那么
λ=0
或
a=0
。
实数
λ
叫做向量
a
的系数，
乘数向量
λa
的几何意义就是将表示向量
a
的有向线段伸长或压
缩。
当∣
λ
∣＞
1
时，表示向量
a
的有向线段在原方向(
λ
＞
0
)或反方向(
λ
＜
0
)上伸长为原来
的∣
λ
∣倍；
当∣
λ
∣＜
1
时，表示向量
a
的有向线段在原方向(
λ
＞
0
)或反方向(
λ
＜
0
)上缩短为原来
的∣
λ
∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：
(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)
。
向量对于数的分配律(第一分配律)
：
(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)
：
λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：
①
如果实数
λ≠0
且
λa=λb
，
那么
a=b
。
②
如果
a≠0
且
λa=μa
，
那么
λ=μ
。
4
、向量的的数量积
定义：
已知两个非零向量
a,b
。
作
OA=a,OB=b,
则角
AOB
称作向量
a
和向量
b
的夹角，
记作
〈
a,b
〉并规定
0≤
〈
a,b
〉
≤π
定义：
两个向量的数量积
(内积、
点积)
是一个数量，
记作
a•b
。
若
a
、
b
不共线，
则
a•b=|a|•|b|•cos
〈
a
，
b
〉
；若
a
、
b
共线，则
a•b=+
-
∣
a
∣∣
b
∣。
向量的数量积的坐标表示：
a•b=x•x'+y•y'
。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a
(交换律)
；
(λa)•b=λ(a•b)(
关于数乘法的结合律
)
；
(
a+b)•c=a•c+b•c
(分配律)
；
向量的数量积的性质
a•a=|a|
的平方。
a
⊥
b
〈
=
〉
a•b=0
。
|a•b|≤|a|•|b|
。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1
、向量的数量积不满足结合律，即：
(a•b)•c≠a•(b•c)
；例如：
(a•b)^2≠a^2•b^2
。
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