向量叉积分配律简单证明

引入

叉积

向量叉积即向量积a×ba×ba×b，运算结果是一个向量，满足：
方向与aaa,bbb都垂直，符合右手法则；
模等于∣a∣∣b∣sinθ|a||b|sinθ∣a∣∣b∣sinθ，几何意义为以aaa,bbb为邻边的平行四边形面积大小。

坐标运算

令a=(m,n)a=(m,n)a=(m,n)，b=(p,q)b=(p,q)b=(p,q)
a×ba×ba×b的竖坐标=mq−np=mq-np=mq−np（符号遵循右手法则）

证明

a=(m,n)a=(m,n)a=(m,n)，b=(p,q)b=(p,q)b=(p,q)
设a=x1+y1=(m,0)+(0,n)a=x1+y1=(m,0)+(0,n)a=x1+y1=(m,0)+(0,n)，b=x2+y2=(p,0)+(0,q)b=x2+y2=(p,0)+(0,q)b=x2+y2=(p,0)+(0,q)
a×ba×ba×b的竖坐标=(x1+y1)×(x2+y2)=(x1+y1)×(x2+y2)=(x1+y1)×(x2+y2)
=x1×x2+x1×y2+y1×x2+y1×y2=x1×x2+x1×y2+y1×x2+y1×y2=x1×x2+x1×y2+y1×x2+y1×y2
=x1×y2+y1×x2=x1×y2+y1×x2=x1×y2+y1×x2
=(m,0)×(0,q)+(0,n)×(p,0)=(m,0)×(0,q)+(0,n)×(p,0)=(m,0)×(0,q)+(0,n)×(p,0)
=mq−np=mq-np=mq−np
问题来了，这里的证明过程中，第一步直接把括号拆开，相当于默认叉积具有分配律，那么这一定是对的吗？
很多地方都没有给出证明，所以这里考虑对叉积分配律给出简单的证明。

证明

已知aaa,bbb,ccc为平面内向量，求证：a×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×c.
首先通过平移是向量起点重合，
从几何意义入手，需要满足以a,ba,ba,b为邻边的平行四边形面积与以a,ca,ca,c为邻边的平行四边形面积之和等于以a,b+ca,b+ca,b+c为邻边的平行四边形面积（这里的面积可能为负值），
显然，这么看难以证明。
那可以把bbb,ccc投影到与aaa垂直的直线上，令投影后的向量分别为b′b'b′,c′c'c′，如图：
由叉积的几何意义易得，a×b=a×b′a×b=a×b'a×b=a×b′，a×c=a×c′a×c=a×c'a×c=a×c′
故a×b+a×c=a×b′+a×c′=−∣a∣∣b′∣+∣a∣∣c′∣=∣a∣(∣c′∣−∣b′∣)a×b+a×c=a×b'+a×c'=-|a||b'|+|a||c'|=|a|(|c'|-|b'|)a×b+a×c=a×b′+a×c′=−∣a∣∣b′∣+∣a∣∣c′∣=∣a∣(∣c′∣−∣b′∣)
同理又有a×(b+c)=a×(b+c)′=∣a∣∣(b+c)′∣a×(b+c)=a×(b+c)'=|a||(b+c)'|a×(b+c)=a×(b+c)′=∣a∣∣(b+c)′∣，
因为∣c′∣−∣b′∣=∣(b+c)′∣|c'|-|b'|=|(b+c)'|∣c′∣−∣b′∣=∣(b+c)′∣，所以a×b′+a×c′=a×(b+c)′a×b'+a×c'=a×(b+c)'a×b′+a×c′=a×(b+c)′，所以a×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×c，
得证。
实际上，这样就相当于把原先的三个普通平行四边形转化为了三个矩形，便于证明。

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