高等数学总结(无穷级数)
1)无穷级数的收敛:部分和有极限;
2)收敛级数的性质:
A)Un收敛于s,则kUn也收敛于ks:级数的每一项都乘以一个非零常数k,不改变级数的收敛性。
B)级数A,B收敛于a,b,则级数A+B(A-B)收敛于a+b(a-b);两个收敛级数可以逐项相加(相减).
C)在级数中除掉、加上或者改变有限项,不改变级数的收敛性。
D)对于收敛级数A,如果对级数项任意添加括号形成的级数仍然收敛,且和不变;注意:加括号不改收敛性,但去括号则不一定了;
E)如果级数A收敛,则A的一般项趋于0.
3)柯西审敛定理:
级数收敛的充分必要条件是:对任意给定的
ε,总存在正整数N,使得n>N的p项之和的绝对值小于
ε.
4)正项级数的收敛:
A)如果正项级数的部分和有界,则级数收敛;
B)比较审敛定理:An<Bn,如果B收敛,则A收敛,如果A发散,则B发散;
C)比较审敛的极限形式
E)比值审敛法(达郎贝尔判别法):Un+1/Un=p,如果p<1则收敛,p>1 发散,p=1则不定。
F)根值审敛:,如果p<1则收敛,p>1发散,p=1不定。
G)极限审敛法:nUn的极限为l,则发散;n^p * Un 的极限为l,l>=0,p>1,Un收敛.
5)交错级数的审敛:
A)莱布尼兹定理:对于级数:Σ(-1)^(n-1) * Un满足:Un极限为0和Un>=Un+1,则级数收敛.
6)绝对收敛和条件收敛:
A)级数绝对收敛,则必然收敛;
B )两个级数收敛s1,s2,则两个级数的柯西乘积收敛于s1*s2;
7)函数项级数:
8)幂级数:
A)阿贝尔定理:如果级数P=ΣAn*x^n在x0处收敛,则P在|x|<|x0|处都收敛;如果P在x0处发散,则P在|x|>|x0|处都发散;An是级数项的系数。
B)收敛半径p:Lim|(an/a(n-1))|=k,如果k>0,则p=1/k.如果k=0,则p是无穷大,如果k等于无穷大,则收敛半径为0.
C)逐项积分,逐项求导。和函数连续。
9)泰勒级数和泰勒展开式:
函数的泰勒展开式,右边是泰勒级数。
二项式展开:
应用:近似计算,微分方程的幂级数解法,欧拉公式
10)幂级数的一致性收敛
11)三角级数:
12)函数的傅里叶三角展开(周期为2π):
右边叫傅里叶级数,其中:
根据f(x)的奇偶性可退出正弦级数和余弦级数。
13)奇延拓和偶延拓:
补充函数的定义,让其适合三角展开。
14)一般周期的傅里叶级数:
复数形式:
(1+x)^m 展开算法:
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;namespace MyMathLib
{/// <summary>/// 近似计算/// </summary>public class ApproximateCalculation{/// <summary>/// 利用二项式定义近似计算:(1+x)^m=E(m*(m-1)...(m-n+1)/n! *x^n)/// </summary>/// <param name="x">(-1,1)</param>/// <param name="m">m</param>/// <param name="e">误差值</param>/// <returns></returns>public static double CalcBinomial(double x, double m,double e){double thePreItemVal = 1;double theRet = 1.0;int theN = 1;while (true){var theCurrItemVal = thePreItemVal * (m - theN + 1) / theN * x;thePreItemVal = theCurrItemVal;theRet += theCurrItemVal;if (Math.Abs(theCurrItemVal) < e){break;}}return theRet;}}
}
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