高等数学：第十一章无穷级数（3）正弦级数、余弦级数、周期为2L的周期函数的傅里叶级数

§11.9 正弦级数和余弦级数

一、奇函数偶函数的傅立叶级数

一般说来，一个函数的傅立叶级数既含有正弦项，又含有余弦项。但是，有些函数的傅立叶级数只含有正弦项或只含有余弦项，究其原因，它与所给函数的奇偶性有关。

【定理】以为周期的奇函数展开成傅立叶级数时，它的傅立叶系数适合：

而以为周期的偶函数展开成傅立叶级数时，它的傅立叶系数适合：

证设是以为周期的偶函数，则，从而

又因是上的奇函数，故

类似地可证明定理的第二部分。

该定理告诉我们：

1、如果为奇函数，那么它的傅立叶级数是只含有正弦项，不含常数项和余弦项的正弦级数

2、如果为偶函数，那么它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项，不含正弦项的余弦级数

【例1】设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，将它展开成傅立叶级数。

解：函数的图形如下：

是周期为的奇函数，因此

在点不连续，据收敛定理，的傅立叶展开式为

二、函数展开成正弦级数或余弦级数

如果仅给出函数在上的定义，如何将它展开成正弦级数或余弦级数呢？

解决该问题的具体步骤如下：

1、在上重新定义新函数，且在上成为奇函数（或偶函数），这种定义的方式称为是对的奇延拓（或偶延拓）。

2、将以为周期进行周期延拓，所得函数的傅立叶展开式必为正弦级数（或余弦级数）。

3、据的傅立叶展开式的成立区间，限制属于、、中的某一个，此时，这样便得到了的正弦级数（或余弦级数）。

【例2】将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。

解：对进行奇延拓，得函数

其傅立叶系数如下：

傅立叶级数为，据收敛定理有：

在处，它收敛于；

在处，它收敛于

；

在内，它收敛于。

故的傅立叶正弦级数展开式为

对进行偶延拓，可得函数

其傅立叶系数为

傅立叶级数为，据收敛定理有：

在处，它收敛于

；

在内，它收敛于。

故的傅立叶余弦级数展开式为

§11.10 周期为2L的周期函数的傅里叶级数

对于周期为的周期函数的傅立叶级数展开，根据已有的结论，借助变量替换，可得到下面定理。

【定理】设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数展开式为

其中系数的计算式为

如果为奇函数，则有

其中系数

如果为偶函数，则有

其中系数

证：作变量替换，当时，，函数可重新表示成，从而是周期为的周期函数且满足收敛定理的条件，因此，可以展开成为傅立叶级数

其傅立叶系数的计算表达式为

由于，，上式可分别改写成

类似地，可以证明定理的其余部分。

【例1】设是周期为的周期函数，它在上的表达式为

将它展开成傅立叶级数。

解：的图象如下：

其傅立叶系数为

据收敛定理，有

因此，的傅立叶展开式为

这里，

【例2】将函数展开成正弦级数和余弦级数。

解：将作奇延拓，得到函数，且

再将以4为周期进行周期延拓，便可获到一个以4为周期的周期函数，其图象如下：

其傅立叶系数为

由于函数在处间断，故的正弦级数展开式为

这里：

再将作偶延拓，得到函数，且

将以4为周期进行周期延拓，便可获到一个以4为周期的周期函数，其图象如下：

其傅立叶系数为

由于函数在上连续，故的余弦级数展开式为

这里：

如果令，得

对定义在任意区间上的函数，若它满足收敛定理所要求的条件，也可将它展开成傅立叶级数，其方法如下：

作变量替换，即，

当时，，将函数改写成

则是定义在上，且满足收敛定理条件的函数，从而可将其展开成傅立叶级数。

【例3】将函数展开成傅立叶级数。

解：作变量替换，当时，则，而

将以为周期进行周期延拓，可得到一个周期函数，其图象如下：

其傅立叶系数为

显然，点是函数的间断点，函数在其它点均连续，故的傅立叶展开式为

将代入上式，得

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